Rappel express de la topologie de base — et pourquoi commencer une preuve n'est pas un pari.
Cette leçon a deux buts jumeaux : (1) te remettre en tête les définitions du Bloc 1 (topologie, ouvert, fermé, intérieur, adhérence, frontière) — celles du champ d'examen, ligne 1 ; et (2) te montrer que démarrer une preuve suit une mécanique, pas une inspiration. À la fin, tu auras prouvé toi-même un énoncé du champ d'examen.
Une topologie sur un ensemble $X$ est une famille $\mathcal{T} \subseteq \mathcal{P}(X)$ telle que :
Les éléments de $\mathcal{T}$ s'appellent les ouverts. Un fermé est un complémentaire d'ouvert : $F$ est fermé $\iff X \setminus F \in \mathcal{T}$.
Deux dissymétries à garder en tête, elles reviennent tout le temps :
Soit $A \subseteq X$.
Pourquoi "plus grand/plus petit" est bien défini ? Parce que ces intersections/unions ne sont jamais vides (au moins $X$ est fermé et contient $A$, au moins $\emptyset$ est ouvert et contenu dans $A$), et parce que les axiomes garantissent que le résultat est encore ouvert/fermé — c'est justement ce qu'on va prouver au §3.
Voilà le secret que personne ne dit assez fort. Face à un énoncé du genre « Montrer que Machin est Truc », il n'y a pas de vide angoissant à combler. Il y a un premier mouvement mécanique :
Remplace « Truc » par sa définition. La nouvelle phrase te dit littéralement ce que tu dois exhiber ou vérifier.
Trois cas typiques :
Une fois la conclusion déballée, applique le même réflexe aux hypothèses : remplace chaque terme technique par sa définition. Neuf fois sur dix, la preuve se voit après ces deux passes.
Soit $(X, \mathcal{T})$ un espace topologique et $A \subseteq X$. Alors $\mathring{A}$ est ouvert.
Trois mouvements. Aucun coup de génie, aucune astuce. C'est ça qu'on visait : voir qu'une preuve « propre » du champ d'examen peut tenir en 3 lignes de déballage + 1 axiome. La difficulté n'est pas dans la ruse, elle est dans la discipline de déballer.
Prouve toi-même l'énoncé symétrique. Fais-le d'abord au brouillon, avant d'ouvrir les indices.
Soit $(X, \mathcal{T})$ un espace topologique et $A \subseteq X$. Alors $\overline{A}$ est fermé.
Preuve. Par définition, $\overline{A} = \bigcap \{\, F \text{ fermé} \;:\; A \subseteq F \,\}$. C'est une intersection de fermés.
Or, une intersection quelconque de fermés est fermée : si $(F_i)_{i \in I}$ est une famille de fermés, alors $$X \setminus \bigcap_{i \in I} F_i \;=\; \bigcup_{i \in I} (X \setminus F_i)$$ est une union d'ouverts, donc un ouvert (axiome 2). Le complémentaire de $\bigcap_i F_i$ est ouvert, donc $\bigcap_i F_i$ est fermé.
Appliqué à $\overline{A}$ : $\overline{A}$ est fermé. $\blacksquare$
Sans regarder au-dessus. Formule ta réponse à voix haute (ou par écrit) avant de révéler.
Écris les trois axiomes d'une topologie $\mathcal{T}$ sur $X$.
Définis $\mathring{A}$ en une ligne, sous forme d'union.
Définis $\overline{A}$ en une ligne, sous forme d'intersection.
Définis la frontière $\partial A$.
Quel est le « premier mouvement » face à un énoncé « Montrer que $X$ est $Y$ » ?
Tu viens de rejouer deux propriétés fondamentales — « $\mathring{A}$ est ouvert » et « $\overline{A}$ est fermé » — qui apparaissent partout dans le cours et sont souvent utilisées sans citation. Si dans une preuve future tu écris « comme $\overline{A}$ est fermé… », tu sais maintenant pourquoi, en 4 lignes.
Deuxième victoire, plus profonde : tu as un protocole pour démarrer. La prochaine fois que tu regardes un énoncé du champ d'examen et que tu bloques, écris juste : « Je dois montrer que … . Par définition, cela signifie … . » — et regarde ce que la phrase te demande.