Quatre définitions à ne jamais confondre — et la première vraie preuve du champ d'examen.
Cette leçon couvre le Cours 2 du champ d'examen, plus une définition transversale du champ (liste 1) : la topologie induite. Quatre objets : la continuité (globale et ponctuelle), l'homéomorphisme (avec ses pièges), la topologie induite (le petit outil qu'on va vraiment utiliser), et enfin une preuve non triviale — le recollement de continuité par un recouvrement ouvert. C'est littéralement une des preuves que tu peux avoir à écrire à l'examen.
Soient $(X, \mathcal{T}_X)$ et $(Y, \mathcal{T}_Y)$ deux espaces topologiques. Une application $f : X \to Y$ est continue si, pour tout ouvert $V \in \mathcal{T}_Y$, l'image réciproque $f^{-1}(V)$ est ouverte dans $X$ : $$V \in \mathcal{T}_Y \;\Longrightarrow\; f^{-1}(V) \in \mathcal{T}_X.$$
$f$ est continue en $x_0 \in X$ si, pour tout voisinage $V$ de $f(x_0)$ dans $Y$, il existe un voisinage $U$ de $x_0$ dans $X$ tel que $f(U) \subseteq V$.
Rappel : un voisinage de $x$ est une partie contenant un ouvert contenant $x$.
$f$ est continue (globalement) $\iff$ $f$ est continue en tout point $x \in X$.
Cette équivalence n'est pas au champ comme preuve à réciter, mais tu dois savoir que les deux formulations sont interchangeables. En pratique : pour vérifier la continuité de $f$, utilise la globale (image réciproque) ; pour raisonner localement (analyse, exemples concrets), utilise la ponctuelle.
La continuité se lit sur les images réciproques des ouverts — pas sur les images directes. L'image directe d'un ouvert par une application continue n'est en général pas ouverte. Exemple : $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \; x \mapsto x^2$ est continue, mais $f\big((-1, 1)\big) = [0, 1)$ n'est pas ouvert.
Une application $f : X \to Y$ est un homéomorphisme si :
Deux espaces sont dits homéomorphes s'il existe un homéomorphisme entre eux. On note $X \cong Y$.
Une bijection continue peut avoir une réciproque non continue. Contre-exemple minimaliste : $$\text{id} : (\mathbb{R}, \mathcal{T}_{\text{discrète}}) \longrightarrow (\mathbb{R}, \mathcal{T}_{\text{std}}), \qquad x \mapsto x.$$ L'identité est bijective et continue (car toute partie de la source est ouverte). Mais la réciproque, l'identité en sens inverse, envoie un singleton $\{x\}$ (ouvert dans la topologie discrète du but) sur $\{x\}$ dans $\mathbb{R}_{\text{std}}$, qui n'est pas ouvert. Donc pas continue, donc pas homéomorphisme.
Il existe un cas magique où bijection + continuité suffit pour être un homéomorphisme : quand la source est compacte et le but est séparé. C'est un résultat du Cours 10-11 (dans le champ d'examen) — on y reviendra en profondeur au Jour 8.
Avant d'attaquer la preuve du recollement, on a besoin d'un objet du champ d'examen (liste 1) qui n'a pas encore été défini : la topologie induite sur une partie. C'est ce qui permet de parler d'« ouvert dans $U_i$ » quand $U_i \subseteq X$.
Soient $(X, \mathcal{T})$ un espace topologique et $Z \subseteq X$ une partie quelconque. La topologie induite sur $Z$ est $$\mathcal{T}_Z \;=\; \{\, Z \cap U \;:\; U \in \mathcal{T} \,\}.$$ Autrement dit : les ouverts de $Z$ sont exactement les traces sur $Z$ des ouverts de $X$.
La famille $\mathcal{T}_Z$ vérifie les trois axiomes d'une topologie sur $Z$.
Cette définition est ce qui permet, quand on écrit « la restriction $f|_Z : Z \to Y$ est continue », de savoir de quoi on parle : la continuité de $f|_Z$ se lit avec la topologie $\mathcal{T}_Z$ sur la source $Z$.
On a besoin maintenant d'une petite propriété très utile — c'est elle qu'on va invoquer dans la preuve du recollement :
Soit $Z \subseteq X$. Si $Z$ est ouvert dans $X$ (c'est-à-dire $Z \in \mathcal{T}$), alors tout ouvert de $Z$ pour la topologie induite est aussi ouvert dans $X$ : $$Z \in \mathcal{T} \;\Longrightarrow\; \mathcal{T}_Z \subseteq \mathcal{T}.$$
Soit $V \in \mathcal{T}_Z$. Par définition, $V = Z \cap U$ pour un certain $U \in \mathcal{T}$. Comme $Z \in \mathcal{T}$ par hypothèse et $U \in \mathcal{T}$, l'intersection $Z \cap U$ est une intersection finie (de deux termes !) d'ouverts de $X$. Par l'axiome 3, $Z \cap U \in \mathcal{T}$, donc $V \in \mathcal{T}$. $\blacksquare$
Si $Z$ n'est pas ouvert dans $X$, la proposition tombe. Exemple : dans $X = \mathbb{R}$, prends $Z = [0, 1]$ (pas ouvert). L'ensemble $V = [0, 1/2) = Z \cap (-1, 1/2)$ est ouvert dans $Z$ pour la topologie induite, mais pas ouvert dans $\mathbb{R}$ (car $0$ n'a aucun voisinage inclus dans $V$ dans $\mathbb{R}$).
C'est exactement pour cela que le théorème de recollement de la section suivante exige un recouvrement ouvert, pas juste un recouvrement quelconque.
Voici l'énoncé exact que tu peux devoir prouver à l'examen (Cours 2, dernière proposition) :
Soient $f : X \to Y$ une application et $(U_i)_{i \in I}$ un recouvrement ouvert de $X$ (c'est-à-dire $\bigcup_{i \in I} U_i = X$ et chaque $U_i \in \mathcal{T}_X$). Si pour tout $i \in I$, la restriction $$f|_{U_i} \;:\; U_i \longrightarrow Y$$ est continue (pour la topologie induite sur $U_i$), alors $f$ est continue sur $X$.
Applique le protocole. Premier mouvement : que veut dire « $f$ est continue » ? Que $f^{-1}(V) \in \mathcal{T}_X$ pour tout ouvert $V \subseteq Y$. On part de là.
Ce qui fait marcher la preuve. Deux ingrédients seulement : (a) $\bigcup_i U_i = X$ permet de découper $f^{-1}(V)$ ; (b) chaque morceau est ouvert dans $X$ parce que chaque $U_i$ est ouvert. Si les $U_i$ n'étaient que des parties (pas des ouverts), le lemme de l'étape 5 tombe et la preuve échoue. C'est pour ça qu'on suppose un recouvrement ouvert.
L'analogue pour un recouvrement fermé existe aussi, mais il faut alors que le recouvrement soit fini (« lemme de recollement fermé »). Sur un recouvrement fermé infini, l'énoncé est faux. Ici, avec un recouvrement ouvert, $|I|$ peut être quelconque — le mot-clé « ouvert » achète la puissance.
Soient $f : X \to Y$ et $g : Y \to Z$ deux applications continues. Alors $g \circ f : X \to Z$ est continue.
Applique le protocole. Écris la preuve au brouillon avant de dérouler les indices — elle tient en 3 lignes.
Preuve. Soit $W \in \mathcal{T}_Z$. On a $(g \circ f)^{-1}(W) = f^{-1}\bigl(g^{-1}(W)\bigr)$.
Comme $g$ est continue, $g^{-1}(W) \in \mathcal{T}_Y$. Comme $f$ est continue, $f^{-1}\bigl(g^{-1}(W)\bigr) \in \mathcal{T}_X$.
Donc $(g \circ f)^{-1}(W) \in \mathcal{T}_X$ pour tout ouvert $W$ de $Z$ : $g \circ f$ est continue. $\blacksquare$
Définition — $f : X \to Y$ est continue (globale) : condition sur les images ______ des ouverts.
Les trois conditions pour qu'une application soit un homéomorphisme ?
Vrai ou faux : toute bijection continue est un homéomorphisme.
Définition — la topologie induite $\mathcal{T}_Z$ sur $Z \subseteq X$.
Sous quelle condition sur $Z$ a-t-on l'implication « $V$ ouvert dans $Z$ (induit) $\Rightarrow$ $V$ ouvert dans $X$ » ? Pourquoi ?
Énonce le théorème de recollement local par ouverts, puis résume les deux ingrédients-clés de sa preuve.
Énoncé. Si $(U_i)_{i\in I}$ est un recouvrement ouvert de $X$ et si $f|_{U_i}$ est continue pour tout $i$, alors $f$ est continue.
Ingrédients. (1) On découpe $f^{-1}(V) = \bigcup_i (f^{-1}(V) \cap U_i)$ grâce au recouvrement. (2) Le fait que les $U_i$ soient ouverts permet de dire que chaque $f^{-1}(V) \cap U_i$ — ouvert dans $U_i$ par continuité locale — est aussi ouvert dans $X$.
Pourquoi le théorème échoue-t-il en général si on remplace « recouvrement ouvert » par « recouvrement fermé quelconque » ?
Tu tiens maintenant :
Prends note : la structure de la preuve de recollement — « écrire $f^{-1}(V)$ comme union de pièces » — est un pattern qu'on retrouvera pour la continuité d'une application définie par recollement (par exemple sur un quotient au Cours 13). Retiens-le.