Base d'une topologie

Une seule définition — mais deux usages : décrire une topologie déjà donnée, ou en construire une à partir de rien.

Écrire une topologie complète, c'est lourd : sur $\mathbb{R}$, il y a une infinité non dénombrable d'ouverts. On a besoin d'un raccourci : donner une petite famille et laisser l'axiome des unions générer le reste. Cette famille s'appelle une base. Il y a en réalité une seule définition (celle du polycopié §I.4) mais deux usages qu'il faut distinguer :

Usage 1 — description. Une topologie $\mathcal{T}$ est déjà donnée. On cherche une base $\mathcal{B} \subseteq \mathcal{T}$ pour décrire $\mathcal{T}$ économiquement.
Usage 2 — construction (« base abstraite »). On part d'une famille brute $\mathcal{B} \subseteq \mathcal{P}(X)$ sans topologie donnée. Question : existe-t-il une topologie sur $X$ dont $\mathcal{B}$ soit une base ? La réponse est la Proposition I.6.

1. Définition — base d'une topologie

Définition (polycopié §I.4)

Soit $(X, \mathcal{T})$ un espace topologique. Un sous-ensemble $\mathcal{B} \subseteq \mathcal{T}$ est une base de la topologie $\mathcal{T}$ si tout élément de $\mathcal{T}$ est une union d'éléments de $\mathcal{B}$.

Exemple

Sur $\mathbb{R}$ muni de la topologie standard, l'ensemble $\mathcal{B} = \{(a, b) : a < b\}$ des intervalles ouverts est une base : tout ouvert de $\mathbb{R}$ est une union d'intervalles ouverts. Plus généralement, sur un espace métrique $(X, d)$, la famille $\mathcal{B} = \{B(x, r) : x \in X, r > 0\}$ des boules ouvertes est une base de la topologie $\mathcal{T}_d$ (on y reviendra Leçon 4).

Proposition — critère ponctuel

Hypothèses : $(X, \mathcal{T})$ espace topologique, $\mathcal{B} \subseteq \mathcal{T}$.

Conclusion : $\mathcal{B}$ est une base de $\mathcal{T}$ si et seulement si : $$\forall U \in \mathcal{T},\; \forall x \in U,\; \exists B \in \mathcal{B} \text{ tel que } x \in B \subseteq U.$$

Preuve

Sens direct ($\Rightarrow$) Supposons $\mathcal{B}$ base. Soit $U \in \mathcal{T}$ et $x \in U$. Par hypothèse, $U = \bigcup_{i \in I} B_i$ avec $B_i \in \mathcal{B}$. Comme $x \in U$, il existe $i_0$ tel que $x \in B_{i_0}$, et $B_{i_0} \subseteq U$.
Sens réciproque ($\Leftarrow$) Supposons le critère ponctuel. Soit $U \in \mathcal{T}$. Pour chaque $x \in U$, choisis $B_x \in \mathcal{B}$ tel que $x \in B_x \subseteq U$. Alors $U = \bigcup_{x \in U} B_x$ (inclusion $\supseteq$ car $B_x \subseteq U$ ; inclusion $\subseteq$ car $x \in B_x$). Donc $U$ est bien une union d'éléments de $\mathcal{B}$. $\blacksquare$

Retiens le critère ponctuel — dans 80 % des exercices utilisant une base, c'est ça que tu invoques (pas la définition « union »).

2. Le cadre abstrait — quand une famille brute est-elle une base ?

On change de point de vue. On n'a plus de topologie donnée : juste un ensemble $X$ et une famille de parties $\mathcal{B} \subseteq \mathcal{P}(X)$. Aucune des « parties » de $\mathcal{B}$ n'est a priori « un ouvert » — elles sont simplement des sous-ensembles de $X$. C'est ce que le champ d'examen appelle une base abstraite (par opposition à une base d'une topologie déjà donnée).

La question naturelle : existe-t-il une topologie $\mathcal{T}$ sur $X$ dont $\mathcal{B}$ soit une base ? Si oui, cette topologie est nécessairement l'ensemble des unions d'éléments de $\mathcal{B}$ — on la note $\mathcal{T}_\mathcal{B}$ et on l'appelle topologie engendrée par $\mathcal{B}$ (terminologie du polycopié).

Attention (polycopié, avant Prop I.6)

« Étant donné un ensemble $X$, un ensemble $\mathcal{B} \subseteq \mathcal{P}(X)$ de parties de $X$ n'est pas toujours une base d'une topologie ! »

Autrement dit, l'ensemble des unions d'éléments de $\mathcal{B}$ ne forme pas systématiquement une topologie. Il faut des conditions sur $\mathcal{B}$ — c'est l'objet de la Proposition I.6.

3. Proposition I.6 — le critère (si et seulement si)

Proposition I.6 (polycopié §I.4)

Hypothèse : $X$ un ensemble, $\mathcal{B} \subseteq \mathcal{P}(X)$ une famille de parties.

Conclusion : $\mathcal{B}$ est une base d'une topologie sur $X$ si et seulement si :

(1) $\displaystyle X = \bigcup_{B \in \mathcal{B}} B$ ;
(2) pour tous $B_1, B_2 \in \mathcal{B}$ et tout $x \in B_1 \cap B_2$, il existe $B \in \mathcal{B}$ avec $x \in B \subseteq B_1 \cap B_2$.

Deux points importants avant d'attaquer la preuve :

C'est un si et seulement si. Les deux sens sont non-triviaux et instructifs.
Le sens $\Rightarrow$ (facile) dit qu'une base d'une topologie satisfait forcément (1) et (2). Le sens $\Leftarrow$ (constructif) dit qu'inversement, ces deux conditions suffisent à ce que $\mathcal{T}_\mathcal{B}$ soit une topologie.

Preuve — sens ($\Rightarrow$)

Supposons $\mathcal{B}$ base d'une topologie sur $X$, c'est-à-dire que $\mathcal{T}_\mathcal{B} := \{\text{unions d'éléments de } \mathcal{B}\}$ est une topologie sur $X$.

Point (1) $X \in \mathcal{T}_\mathcal{B}$ (axiome 1), donc $X$ est union d'éléments de $\mathcal{B}$. Cela signifie exactement $X = \bigcup_{B \in \mathcal{B}} B$.
Point (2) Fixons $B_1, B_2 \in \mathcal{B}$. Comme $\mathcal{B} \subseteq \mathcal{T}_\mathcal{B}$ (chaque $B$ est l'union à un terme $B$), on a $B_1, B_2 \in \mathcal{T}_\mathcal{B}$. L'axiome 3 donne $B_1 \cap B_2 \in \mathcal{T}_\mathcal{B}$, donc $B_1 \cap B_2$ est une union d'éléments de $\mathcal{B}$. Pour tout $x \in B_1 \cap B_2$, il existe donc $B \in \mathcal{B}$ dans cette union tel que $x \in B \subseteq B_1 \cap B_2$. $\blacksquare$

Preuve — sens ($\Leftarrow$), le cœur du théorème

Supposons (1) et (2). Il faut montrer que $\mathcal{T}_\mathcal{B} := \{\text{unions d'éléments de } \mathcal{B}\}$ satisfait les trois axiomes d'une topologie.

Axiome 1 — $\emptyset, X \in \mathcal{T}_\mathcal{B}$ Par convention, l'ensemble vide est l'union vide d'éléments de $\mathcal{B}$, donc $\emptyset \in \mathcal{T}_\mathcal{B}$. Et $X = \bigcup_{B \in \mathcal{B}} B$ par (1), donc $X \in \mathcal{T}_\mathcal{B}$.
Axiome 2 — union quelconque Une union d'unions d'éléments de $\mathcal{B}$ est encore une union d'éléments de $\mathcal{B}$. Explicitement : si $(U_j)_{j \in J}$ avec $U_j = \bigcup_{i \in I_j} B_{j,i}$, alors $\bigcup_j U_j = \bigcup_{(j, i)} B_{j,i}$. Donc $\bigcup_j U_j \in \mathcal{T}_\mathcal{B}$.
Axiome 3 — intersection finie (c'est ici que (2) sert) Il suffit de traiter deux ouverts (récurrence pour $n$). Soient $U, U' \in \mathcal{T}_\mathcal{B}$ : $U = \bigcup_i B_i$ et $U' = \bigcup_j B'_j$ avec $B_i, B'_j \in \mathcal{B}$. Par distributivité : $$U \cap U' \;=\; \bigcup_{i, j} \bigl(B_i \cap B'_j\bigr).$$ Il ne reste donc plus qu'à montrer que chaque $B_i \cap B'_j$ est une union d'éléments de $\mathcal{B}$ (car alors $U \cap U'$ est une union d'unions d'éléments de $\mathcal{B}$, donc dans $\mathcal{T}_\mathcal{B}$).

Fixons donc $B_1, B_2 \in \mathcal{B}$. Pour chaque $x \in B_1 \cap B_2$, la condition (2) donne $B(x) \in \mathcal{B}$ avec $x \in B(x) \subseteq B_1 \cap B_2$. On a alors $$B_1 \cap B_2 \;=\; \bigcup_{x \in B_1 \cap B_2} B(x),$$ union d'éléments de $\mathcal{B}$ (justification : $\supseteq$ car $B(x) \subseteq B_1 \cap B_2$ ; $\subseteq$ car $x \in B(x)$).

Donc $B_1 \cap B_2 \in \mathcal{T}_\mathcal{B}$, et par conséquent $U \cap U' \in \mathcal{T}_\mathcal{B}$. $\blacksquare$

Où sert exactement chaque condition ?

(1) sert à obtenir $X \in \mathcal{T}_\mathcal{B}$ (partie de l'axiome 1). (2) sert uniquement à l'axiome 3 (intersection finie). L'axiome 2 (union quelconque) ne demande aucune condition supplémentaire — c'est gratuit.

4. À toi — deux exemples concrets

Pour chacune des familles suivantes, dis si elle est base d'une topologie sur son ensemble, en justifiant par la Proposition I.6 (vérification ou réfutation de (1) et (2)).

Exemple A

Sur $X = \mathbb{R}$, la famille $\mathcal{B}_A = \{(a, b) : a, b \in \mathbb{R},\; a < b\}$ des intervalles ouverts.

Exemple B

Sur $X = \{1, 2, 3\}$, la famille $\mathcal{B}_B = \bigl\{\{1, 2\},\; \{2, 3\}\bigr\}$.

Indices progressifs

Indice — Exemple A, condition (1)

$\mathbb{R} = \bigcup_{n \in \mathbb{N}^*} (-n, n)$. Ces intervalles sont dans $\mathcal{B}_A$, donc $\bigcup_{B \in \mathcal{B}_A} B \supseteq \mathbb{R}$. L'inclusion inverse est triviale.

Indice — Exemple A, condition (2)

L'intersection $(a_1, b_1) \cap (a_2, b_2)$ est elle-même un intervalle ouvert (ou vide) — précisément $(\max(a_1, a_2), \min(b_1, b_2))$. Donc pour tout $x$ dans l'intersection, prends $B = (a_1, b_1) \cap (a_2, b_2)$ lui-même.

Indice — Exemple B, condition (1)

$\{1, 2\} \cup \{2, 3\} = \{1, 2, 3\} = X$. La condition (1) est satisfaite.

Indice — Exemple B, condition (2)

$\{1, 2\} \cap \{2, 3\} = \{2\}$. Prends $x = 2$ dans cette intersection : existe-t-il $B \in \mathcal{B}_B$ tel que $2 \in B \subseteq \{2\}$ ? Il faudrait $B = \{2\}$, mais $\{2\} \notin \mathcal{B}_B$. Donc (2) échoue.

Solution complète

Exemple A. (1) $\bigcup_{n \geq 1} (-n, n) = \mathbb{R}$, et chaque $(-n, n) \in \mathcal{B}_A$. Donc $\bigcup_{B \in \mathcal{B}_A} B = \mathbb{R}$. ✓
(2) Soient $(a_1, b_1), (a_2, b_2) \in \mathcal{B}_A$ et $x \in (a_1, b_1) \cap (a_2, b_2) = (\max(a_1, a_2), \min(b_1, b_2))$. Prends $B = (\max(a_1, a_2), \min(b_1, b_2))$, qui est dans $\mathcal{B}_A$ et vérifie $x \in B \subseteq B_1 \cap B_2$. ✓
Par la Proposition I.6, $\mathcal{B}_A$ est bien une base d'une topologie sur $\mathbb{R}$ — c'est la topologie standard.

Exemple B. (1) $\bigcup_{B \in \mathcal{B}_B} B = \{1,2\} \cup \{2,3\} = \{1,2,3\} = X$. ✓
(2) $\{1,2\} \cap \{2,3\} = \{2\}$. Prends $x = 2$. Il faudrait $B \in \mathcal{B}_B$ avec $2 \in B \subseteq \{2\}$, donc $B = \{2\}$. Or $\{2\} \notin \mathcal{B}_B$. ✗
La condition (2) échoue, donc par la Proposition I.6, $\mathcal{B}_B$ n'est pas une base d'une topologie sur $\{1, 2, 3\}$. $\blacksquare$

Remarque. Ce contre-exemple est révélateur : (2) capture précisément l'idée que « l'intersection de deux éléments de la base doit pouvoir se reconstruire, au moins ponctuellement, à partir de la base elle-même ». Si $\{2\}$ était dans $\mathcal{B}_B$, tout marcherait.

5. Quiz de rappel

Q1 — restitution complète

Énonce la définition d'une base d'une topologie (§I.4 du polycopié).

Vérifier

Hypothèse. $(X, \mathcal{T})$ espace topologique, $\mathcal{B} \subseteq \mathcal{T}$. Définition. $\mathcal{B}$ est base de $\mathcal{T}$ si tout élément de $\mathcal{T}$ est une union d'éléments de $\mathcal{B}$.

Q2 — le point clé

Vrai ou faux : « une base abstraite est, par définition, une famille $\mathcal{B} \subseteq \mathcal{P}(X)$ satisfaisant (1) et (2) ».

Vérifier

Faux. Une « base abstraite » désigne simplement une famille $\mathcal{B} \subseteq \mathcal{P}(X)$ envisagée sans topologie donnée a priori. Les conditions (1) et (2) ne sont pas sa définition mais le critère (Proposition I.6) qui garantit qu'elle est effectivement base d'une topologie.

Q3 — restitution complète

Énonce la Proposition I.6 (hypothèses, conclusion, les deux conditions).

Vérifier

Hyp. $X$ ensemble, $\mathcal{B} \subseteq \mathcal{P}(X)$. Conclusion. $\mathcal{B}$ est base d'une topologie sur $X$ ssi (1) $X = \bigcup_{B \in \mathcal{B}} B$, et (2) $\forall B_1, B_2 \in \mathcal{B}, \forall x \in B_1 \cap B_2, \exists B \in \mathcal{B}$ avec $x \in B \subseteq B_1 \cap B_2$.

Dans la preuve du sens $\Leftarrow$ de la Proposition I.6, à quel axiome exact la condition (2) sert-elle ? Et (1) ?

Vérifier

(2) sert uniquement à l'axiome 3 (intersection finie) : elle permet de montrer que $B_1 \cap B_2$ est encore une union d'éléments de $\mathcal{B}$. (1) sert à l'axiome 1 (partie « $X \in \mathcal{T}_\mathcal{B}$ »). L'axiome 2 (union quelconque) est gratuit.

Q5 — piège

Vrai ou faux : (2) équivaut à « $\mathcal{B}$ est stable par intersection finie ».

Vérifier

Faux. (2) est plus faible. Elle demande seulement que chaque point de $B_1 \cap B_2$ soit contenu dans un élément de $\mathcal{B}$ (pouvant être plus petit) inclus dans $B_1 \cap B_2$. L'intersection $B_1 \cap B_2$ elle-même peut ne pas appartenir à $\mathcal{B}$. Exemple : les boules ouvertes de $\mathbb{R}^2$ forment une base, mais l'intersection de deux boules n'est en général pas une boule.

6. Récap et micro-victoire

Tu tiens maintenant :

La définition unique de base d'une topologie du polycopié (§I.4) — et le critère ponctuel équivalent.
Le cadre abstrait : partir d'une famille $\mathcal{B} \subseteq \mathcal{P}(X)$ sans topologie, et poser la question « est-ce base d'une topologie sur $X$ ? ».
La Proposition I.6 comme équivalence, avec les deux sens de la preuve, et la localisation précise du rôle de chaque condition.
Un critère opérationnel : toujours vérifier ou réfuter (1) et (2) via la Prop I.6 quand on te demande si une famille est une base.

La Prop I.6 est un pivot : la plupart des topologies « nommées » du cours (métrique, produit, ponctuelle) sont introduites via une famille $\mathcal{B}$ dont on vérifie qu'elle satisfait (1) et (2). Dès la Leçon 4, on refera exactement ça pour les boules d'un espace métrique.

Source primaire — Polycopié Cimasoni, §I.4 « Bases et sous-bases » (pages 20-22). La Proposition I.6 y est écrite mot pour mot comme ici ; la démonstration du polycopié fait exactement le même découpage (sens direct court, sens réciproque avec vérification des trois axiomes). En complément anglais : Munkres, §13, Theorem 13.4 — attention, Munkres définit « basis » comme satisfaisant (1) et (2) : il fusionne définition et théorème, contrairement à Cimasoni. À l'examen, suis Cimasoni.

Prochaine leçon (jour 3) — Topologies métriques (§I.3 du polycopié + Cours 3-4 du champ). On utilisera directement la Proposition I.6 pour construire la topologie métrique à partir des boules ouvertes, et on attaquera une preuve du champ : $\mathcal{T}_\text{taxi} = \mathcal{T}_\text{std} = \mathcal{T}_\text{max}$ sur $\mathbb{R}^2$.

Corrections faites suite à ta remarque — la distinction « définition vs critère » est maintenant nette. Si un passage reste flou, dis-le. En particulier : l'étape 3 de la preuve du sens $\Leftarrow$ (la distributivité $U \cap U' = \bigcup_{i,j} B_i \cap B'_j$) peut nécessiter un dessin ou une réécriture ligne à ligne — signal-le si c'est le cas.