Topologies métriques & équivalence sur $\mathbb{R}^2$

D'une métrique à une topologie : la construction, la preuve que les boules sont ouvertes, et l'égalité des trois topologies classiques sur $\mathbb{R}^2$.

Cette leçon couvre le Cours 3 (métrique induit une topologie, boules ouvertes) et le Cours 4 (les trois topologies $\mathcal{T}_\text{taxi}, \mathcal{T}_\text{std}, \mathcal{T}_\text{max}$ sur $\mathbb{R}^2$ coïncident) du champ d'examen. Deux preuves du champ dedans — donc deux occasions de rejouer le protocole « déballer la conclusion, appliquer un axiome ». On ajoute la définition d'espace métrisable (liste 1 du champ).

1. Métrique et espace métrique

Définition (polycopié §I.3)

Soit $X$ un ensemble. Une application $d : X \times X \to [0, \infty)$ est appelée une distance (ou une métrique) sur $X$ si elle satisfait les trois propriétés suivantes pour tous $x, y, z \in X$ :

  1. $d(x, y) = 0$ si et seulement si $x = y$ ;
  2. $d(x, y) = d(y, x)$ (symétrie) ;
  3. $d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z)$ (inégalité triangulaire).

Un ensemble $X$ muni d'une distance est appelé un espace métrique, noté $(X, d)$ (ou simplement $X$ si aucune confusion possible).

Définition — Boule ouverte

Étant donnés un élément $x$ d'un espace métrique $(X, d)$ et un réel $r > 0$, on appelle boule ouverte de rayon $r$ centrée en $x$ l'ensemble $$B_d(x, r) \;:=\; \{\, y \in X \;:\; d(x, y) < r \,\}.$$ Lorsqu'il n'y a pas de confusion possible, on notera simplement $B(x, r)$.

Trois métriques fondamentales sur $\mathbb{R}^n$

Fixons $p \geq 1$. La métrique $d_p$ sur $\mathbb{R}^n$ est définie par $$d_p(x, y) \;=\; \Bigl(\sum_{i=1}^n |x_i - y_i|^p\Bigr)^{1/p}.$$ Les trois cas qui vont nous intéresser :

Les boules correspondantes dans $\mathbb{R}^2$ sont respectivement des losanges, des disques, et des carrés — d'où le fait, à première vue surprenant, qu'elles engendrent la même topologie.

2. La topologie induite par une métrique

Une métrique $d$ sur $X$ définit une topologie $\mathcal{T}_d$ sur $X$ (polycopié §I.3) :

Définition — Topologie induite par une métrique

Soit $(X, d)$ un espace métrique. On pose $$\mathcal{T}_d \;:=\; \bigl\{\, U \subseteq X \;:\; \forall x \in U,\; \exists \varepsilon > 0 \text{ tel que } B_d(x, \varepsilon) \subseteq U \,\bigr\}.$$ On admet (preuve immédiate à partir des axiomes) que $\mathcal{T}_d$ est bien une topologie sur $X$. On l'appelle la topologie induite par la métrique $d$.

Le nom « boule ouverte » n'est pas gratuit : il faut démontrer que ces boules sont effectivement des ouverts de $\mathcal{T}_d$. C'est la première preuve du champ (Cours 3).

Proposition — les boules sont ouvertes (Cours 3 du champ)

Hypothèses : $(X, d)$ un espace métrique, $x \in X$, $r > 0$.

Conclusion : $B_d(x, r) \in \mathcal{T}_d$, autrement dit la boule ouverte $B_d(x, r)$ est un ouvert pour la topologie induite par $d$.

Preuve (polycopié, Remarque 1 après la définition)
  1. Déballer la conclusion Il s'agit de montrer que pour tout $y \in B_d(x, r)$, il existe $\varepsilon > 0$ tel que $B_d(y, \varepsilon) \subseteq B_d(x, r)$. C'est la définition d'un élément de $\mathcal{T}_d$.
  2. Choisir $\varepsilon$ Fixons $y \in B_d(x, r)$. Posons $$\varepsilon \;:=\; r - d(x, y).$$ C'est bien un réel strictement positif : puisque $y \in B_d(x, r)$, on a $d(x, y) < r$, donc $\varepsilon > 0$.
  3. Vérifier l'inclusion via l'inégalité triangulaire Soit $z \in B_d(y, \varepsilon)$ : par définition, $d(y, z) < \varepsilon$. L'inégalité triangulaire donne $$d(x, z) \;\leq\; d(x, y) + d(y, z) \;<\; d(x, y) + \varepsilon \;=\; d(x, y) + \bigl(r - d(x, y)\bigr) \;=\; r.$$ Donc $z \in B_d(x, r)$. Cela vaut pour tout $z \in B_d(y, \varepsilon)$, donc $B_d(y, \varepsilon) \subseteq B_d(x, r)$.
  4. Conclure Pour tout $y \in B_d(x, r)$, on a exhibé $\varepsilon > 0$ tel que $B_d(y, \varepsilon) \subseteq B_d(x, r)$. Donc $B_d(x, r) \in \mathcal{T}_d$. $\blacksquare$
L'inégalité triangulaire est l'ingrédient essentiel

Toute la preuve tient à l'étape 3, et cette étape utilise uniquement l'inégalité triangulaire. C'est pour cela qu'une simple application $d : X \times X \to [0, \infty)$ vérifiant les trois axiomes suffit à engendrer une topologie — le troisième axiome fait tout le travail.

Corollaire — les boules forment une base de $\mathcal{T}_d$

Puisque les boules sont ouvertes et que la définition de $\mathcal{T}_d$ est exactement le critère ponctuel (Leçon 3, §1), la famille $\mathcal{B}_d = \{B_d(x, r) : x \in X,\; r > 0\}$ est une base de $\mathcal{T}_d$.

3. Métriques équivalentes → même topologie

Définition — Métriques équivalentes

Deux métriques $d$ et $d'$ sur un même ensemble $X$ sont équivalentes s'il existe deux constantes $c, c' > 0$ telles que $$c\, d(x, y) \;\leq\; d'(x, y) \;\leq\; c'\, d(x, y) \qquad \text{pour tous } x, y \in X.$$

Proposition I.3 (polycopié)

Hypothèse : $d$ et $d'$ métriques équivalentes sur $X$.

Conclusion : $\mathcal{T}_d = \mathcal{T}_{d'}$.

Preuve
  1. Traduire l'équivalence sur les boules L'hypothèse $c\, d \leq d' \leq c'\, d$ se traduit sur les boules : pour tout $x \in X$ et tout $r > 0$, $$B_{d'}(x, c r) \;\subseteq\; B_d(x, r) \;\subseteq\; B_{d'}(x, c' r).$$ Justification. Si $d'(x, y) < c r$, alors $d(x, y) \leq d'(x, y)/c < r$, donc $y \in B_d(x, r)$. De même pour la seconde inclusion en utilisant $d'(x, y) \leq c'\, d(x, y)$.
  2. Montrer $\mathcal{T}_d \subseteq \mathcal{T}_{d'}$ Soit $U \in \mathcal{T}_d$. Pour tout $x \in U$, il existe $r > 0$ avec $B_d(x, r) \subseteq U$. Par l'étape 1, $B_{d'}(x, c r) \subseteq B_d(x, r) \subseteq U$. Donc $x$ admet le rayon $r' = c r > 0$ tel que $B_{d'}(x, r') \subseteq U$, et $U \in \mathcal{T}_{d'}$.
  3. Montrer $\mathcal{T}_{d'} \subseteq \mathcal{T}_d$ Symétriquement, à partir de $B_d(x, r) \subseteq B_{d'}(x, c' r)$. $\blacksquare$
Attention : la réciproque est fausse !

Deux métriques peuvent induire la même topologie sans être équivalentes. Exemple (polycopié, Remarque 1 de la section) : sur $\mathbb{R}$, la métrique standard $d(x, y) = |x - y|$ et la métrique bornée $\bar d(x, y) = |x - y| / (1 + |x - y|)$ induisent la même topologie, mais ne sont pas équivalentes (car $\bar d < 1$ partout, alors que $d$ n'est pas bornée). La notion d'équivalence est métrique ; la coïncidence des topologies est topologique, plus faible.

4. La preuve du champ : $\mathcal{T}_\text{taxi} = \mathcal{T}_\text{std} = \mathcal{T}_\text{max}$ sur $\mathbb{R}^2$

C'est la seconde preuve du champ (Cours 4). Elle repose entièrement sur la Proposition I.3 : il suffit de vérifier que les trois métriques $d_1, d_2, d_\infty$ sont deux à deux équivalentes sur $\mathbb{R}^2$.

Théorème (Cours 4 du champ)

Hypothèse : $\mathbb{R}^2$ muni des trois métriques $d_1$ (taxi), $d_2$ (standard) et $d_\infty$ (max).

Conclusion : $\mathcal{T}_\text{taxi} = \mathcal{T}_\text{std} = \mathcal{T}_\text{max}$ (les trois topologies induites coïncident).

Preuve
  1. Stratégie Par la Proposition I.3, il suffit de montrer que $d_1$, $d_2$, $d_\infty$ sont deux à deux équivalentes. Il suffit même de comparer chacune à $d_\infty$ (par transitivité).
  2. Notation Pour $x = (x_1, x_2), y = (y_1, y_2) \in \mathbb{R}^2$, posons $a_i = |x_i - y_i|$ pour $i = 1, 2$. Alors : $$d_1(x, y) = a_1 + a_2, \quad d_2(x, y) = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}, \quad d_\infty(x, y) = \max(a_1, a_2).$$
  3. Comparaison $d_\infty$ et $d_1$ D'une part, $\max(a_1, a_2) \leq a_1 + a_2$ (majorer par la somme). D'autre part, $a_1 + a_2 \leq 2 \max(a_1, a_2)$ (chaque terme est majoré par le max). Donc $$d_\infty(x, y) \;\leq\; d_1(x, y) \;\leq\; 2\, d_\infty(x, y).$$ Les métriques $d_\infty$ et $d_1$ sont équivalentes (constantes $c = 1$, $c' = 2$).
  4. Comparaison $d_\infty$ et $d_2$ D'une part, $\max(a_1, a_2)^2 \leq a_1^2 + a_2^2$ (l'un des deux termes vaut le max au carré, l'autre est positif), donc en prenant la racine : $d_\infty(x, y) \leq d_2(x, y)$.
    D'autre part, $a_1^2 + a_2^2 \leq 2 \max(a_1, a_2)^2$ (chaque carré est majoré par le max au carré), donc $d_2(x, y) \leq \sqrt{2}\, d_\infty(x, y)$. $$d_\infty(x, y) \;\leq\; d_2(x, y) \;\leq\; \sqrt{2}\, d_\infty(x, y).$$ Les métriques $d_\infty$ et $d_2$ sont équivalentes (constantes $c = 1$, $c' = \sqrt{2}$).
  5. Conclure par transitivité $d_1 \sim d_\infty$ et $d_2 \sim d_\infty$, donc par transitivité $d_1 \sim d_2$. Les trois métriques sont donc deux à deux équivalentes.
    Par la Proposition I.3, $\mathcal{T}_{d_1} = \mathcal{T}_{d_\infty}$ et $\mathcal{T}_{d_2} = \mathcal{T}_{d_\infty}$, donc $$\mathcal{T}_\text{taxi} \;=\; \mathcal{T}_\text{std} \;=\; \mathcal{T}_\text{max}. \qquad \blacksquare$$
Intuition géométrique

Le fait que les trois topologies coïncident se voit géométriquement : dans chaque losange (boule $d_1$), on peut inscrire un carré (boule $d_\infty$) plus petit, et inversement dans chaque carré on peut inscrire un losange. Le disque euclidien s'intercale entre les deux. Donc « autour de tout point d'un ouvert, il y a une boule (peu importe laquelle des trois) contenue dans l'ouvert » — c'est exactement la même famille d'ouverts.

5. Espace topologique métrisable

Définition (polycopié §I.3)

Un espace topologique $(X, \mathcal{T})$ est dit métrisable s'il existe une métrique $d$ sur $X$ telle que $\mathcal{T} = \mathcal{T}_d$.

La métrisabilité est une propriété topologique : elle ne dépend que de $\mathcal{T}$, pas d'une métrique particulière (qui, on l'a vu, n'est pas unique). Deux métriques différentes peuvent induire la même topologie ; l'important est qu'au moins une métrique induise $\mathcal{T}$.

Exemples (polycopié)

6. À toi — la métrique discrète

Un classique du polycopié (§I.3, Exemple 3 des topologies induites) — à démontrer soi-même.

À prouver

Hypothèses : $X$ un ensemble non vide, $d$ la métrique discrète définie par $$d(x, y) = \begin{cases} 0 & \text{si } x = y ;\\ 1 & \text{sinon.} \end{cases}$$

Conclusion : La topologie induite $\mathcal{T}_d$ est la topologie discrète $\mathcal{T}_\text{disc} = \mathcal{P}(X)$.

Indices progressifs
Indice 1 — quelles sont les boules ouvertes ?
Pour $x \in X$ et $r > 0$ : $B_d(x, r) = \{y : d(x, y) < r\}$.
Si $r \leq 1$ : seul $y = x$ vérifie $d(x, y) = 0 < r$, donc $B_d(x, r) = \{x\}$.
Si $r > 1$ : tous les $y$ vérifient $d(x, y) \leq 1 < r$, donc $B_d(x, r) = X$.
Indice 2 — comment conclure ?
Il suffit de montrer que $\{x\} \in \mathcal{T}_d$ pour tout $x \in X$. Car alors toute partie $A \subseteq X$ s'écrit $A = \bigcup_{x \in A} \{x\}$ (union d'ouverts, donc ouverte par axiome 2). Donc $\mathcal{T}_d = \mathcal{P}(X) = \mathcal{T}_\text{disc}$.
Solution complète

Preuve. Fixons $x \in X$. Par l'indice 1, la boule $B_d(x, 1/2)$ est égale à $\{x\}$ (car seul $y = x$ vérifie $d(x, y) < 1/2$). Or on a démontré au §2 que les boules sont ouvertes ; en particulier, $B_d(x, 1/2) = \{x\} \in \mathcal{T}_d$.

Soit maintenant $A \subseteq X$ une partie quelconque. On a $A = \bigcup_{x \in A} \{x\}$, union d'éléments de $\mathcal{T}_d$ (par ce qu'on vient de montrer). Par l'axiome 2 d'une topologie, $A \in \mathcal{T}_d$.

Donc toute partie de $X$ est ouverte pour $\mathcal{T}_d$, c'est-à-dire $\mathcal{T}_d = \mathcal{P}(X) = \mathcal{T}_\text{disc}$. $\blacksquare$

Corollaire. Tout espace discret est métrisable. C'est le premier exemple de métrisabilité du polycopié.

7. Quiz de rappel

Q1 — restitution complète

Énonce complètement la définition d'une métrique sur un ensemble $X$ (les trois axiomes, avec quantificateurs).

Vérifier
$d : X \times X \to [0, \infty)$ telle que pour tous $x, y, z \in X$ : (i) $d(x, y) = 0 \iff x = y$ ; (ii) $d(x, y) = d(y, x)$ ; (iii) $d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z)$.
Q2

Écris la définition de $\mathcal{T}_d$ (topologie induite par la métrique $d$).

Vérifier
$\mathcal{T}_d = \{U \subseteq X : \forall x \in U, \exists \varepsilon > 0, \; B_d(x, \varepsilon) \subseteq U\}$.
Q3 — la preuve du champ (Cours 3)

Résume en 3 lignes la preuve que les boules $B_d(x, r)$ sont ouvertes. À quel axiome de la métrique cette preuve fait-elle appel ?

Vérifier
Soit $y \in B_d(x, r)$. Poser $\varepsilon = r - d(x, y) > 0$. Pour $z \in B_d(y, \varepsilon)$, l'inégalité triangulaire donne $d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z) < d(x, y) + \varepsilon = r$, donc $z \in B_d(x, r)$. L'axiome utilisé est l'inégalité triangulaire (axiome (iii)).
Q4

Énonce la Proposition I.3 (métriques équivalentes → même topologie). Vrai ou faux : sa réciproque tient ?

Vérifier
Prop I.3. Si $d \sim d'$ (i.e., $\exists c, c' > 0, c d \leq d' \leq c' d$), alors $\mathcal{T}_d = \mathcal{T}_{d'}$. La réciproque est fausse : contre-exemple, $d(x, y) = |x - y|$ et $\bar d(x, y) = |x - y|/(1 + |x - y|)$ sur $\mathbb{R}$ induisent la même topologie mais ne sont pas équivalentes ($\bar d$ est bornée par 1, $d$ non).
Q5 — la preuve du champ (Cours 4)

Sur $\mathbb{R}^2$, donne les deux inégalités-clés permettant de conclure $\mathcal{T}_\text{taxi} = \mathcal{T}_\text{std} = \mathcal{T}_\text{max}$. Quelle proposition invoque-t-on pour finir ?

Vérifier
Sur $\mathbb{R}^2$ : $d_\infty \leq d_1 \leq 2\, d_\infty$ et $d_\infty \leq d_2 \leq \sqrt{2}\, d_\infty$. Donc les trois métriques sont deux à deux équivalentes, et par la Proposition I.3, les trois topologies coïncident.
Q6 — définition

Un espace topologique $(X, \mathcal{T})$ est métrisable. Cela signifie ?

Vérifier
Il existe une métrique $d$ sur $X$ telle que $\mathcal{T} = \mathcal{T}_d$. Autrement dit, $\mathcal{T}$ peut être engendrée par au moins une métrique (pas nécessairement unique).

8. Récap et micro-victoire

Tu tiens maintenant :

Deux preuves du champ acquises en une leçon. La topologie métrique est le socle sur lequel on va bâtir la topologie produit (Leçon 5) : les boules de $\mathbb{R}^2$ « ressemblent » à des produits d'intervalles pour la métrique $d_\infty$ — c'est exactement là que le produit commence.

Source primaire — Polycopié Cimasoni, §I.3 « Espaces métriques » (pages 15-19). La définition de métrique et de boule sont copiées mot pour mot ; la preuve que les boules sont ouvertes reprend la Remarque 1 après la définition de $\mathcal{T}_d$ (page 16) ; la Proposition I.3 est textuelle (page 17). En complément anglais : Munkres, §20 (The Metric Topology) — attention Munkres note $B_d(x, \varepsilon)$ et pose la topologie exactement de la même façon, mais présente les inégalités sur $d_p$ sans les prouver explicitement pour $n = 2$.

Prochaine leçon (jour 4) — Topologie produit fini (§I.5.1) et l'application $\sigma$ comme homéomorphisme (Cours 6). On utilisera à nouveau la Prop I.6 (Leçon 3) pour construire la topologie produit à partir d'une base de « pavés ».

Deux preuves du champ dans cette leçon. Fais l'exercice §6 sans regarder la solution — c'est un vrai contrôle de compréhension du §2. Et si Q3 ou Q5 sortent avec des trous, signale-le : ce sont exactement les énoncés que le correcteur attendra à l'examen.