Leçon 5 — Topologie produit fini

Comment topologiser un produit cartésien — et la propriété universelle qui va tout simplifier.

Cette leçon couvre le Cours 5 du champ (construction de la topologie produit, cas fini ; le cas infini est en Leçon 6). Le Cours 6 du champ — l'application $\sigma$ et son homéomorphisme — se rattache à l'application tertiaire vers l'ensemble de Cantor, et sera traité en Leçon 6.

On va utiliser massivement la Proposition I.6 de la Leçon 3 : la topologie produit est définie par une base, et la vérification qu'il s'agit bien d'une topologie est une application directe de ce critère.

1. Rappels ensemblistes — produit fini

Définition — Produit cartésien fini (§I.5.1)

Soient $X_1, X_2, \ldots, X_n$ des ensembles. Leur produit cartésien est $$\prod_{i=1}^n X_i \;=\; X_1 \times X_2 \times \cdots \times X_n \;=\; \bigl\{\, (x_1, x_2, \ldots, x_n) \;:\; x_i \in X_i \text{ pour tout } i \,\bigr\}.$$ Pour chaque $j \in \{1, \ldots, n\}$, la projection canonique est l'application $$\pi_j \;:\; \prod_{i=1}^n X_i \longrightarrow X_j, \qquad (x_1, \ldots, x_n) \longmapsto x_j.$$

C'est purement ensembliste — pas encore de topologie. La question de la Leçon : si chaque $X_i$ porte une topologie $\mathcal{T}_i$, comment topologiser $\prod_i X_i$ de manière « naturelle » ?

2. Construction de la topologie produit (Cours 5)

La bonne réponse est de partir d'une famille de « pavés ouverts » et de vérifier qu'elle est une base d'une topologie via la Proposition I.6 de la Leçon 3.

Définition — Base de pavés

Soient $(X_i, \mathcal{T}_i)_{i=1,\ldots,n}$ des espaces topologiques. On pose $$\mathcal{B} \;=\; \Bigl\{\, U_1 \times U_2 \times \cdots \times U_n \;:\; U_i \in \mathcal{T}_i \text{ pour tout } i \,\Bigr\} \;\subseteq\; \mathcal{P}\!\left(\prod_{i=1}^n X_i\right).$$

Proposition — $\mathcal{B}$ est une base d'une topologie

Hypothèses : $(X_i, \mathcal{T}_i)_{i=1,\ldots,n}$ espaces topologiques, $\mathcal{B}$ défini ci-dessus.

Conclusion : $\mathcal{B}$ satisfait les deux conditions de la Proposition I.6, donc engendre une topologie $\mathcal{T}_\mathcal{B}$ sur $\prod_i X_i$. Cette topologie est appelée la topologie produit, notée $\mathcal{T}_\text{prod}$.

Preuve — vérification des deux conditions de la Prop I.6

Condition (1) — recouvrement Le pavé « total » $X_1 \times X_2 \times \cdots \times X_n$ est dans $\mathcal{B}$ (chaque $X_i$ est ouvert dans $X_i$ par l'axiome 1). Et $X_1 \times \cdots \times X_n = \prod_i X_i$. Donc $\bigcup_{B \in \mathcal{B}} B = \prod_i X_i$. ✓
Condition (2) — intersection Soient $B_1 = U_1 \times \cdots \times U_n$ et $B_2 = V_1 \times \cdots \times V_n$ deux pavés de $\mathcal{B}$. Par distributivité du produit sur l'intersection : $$B_1 \cap B_2 \;=\; (U_1 \cap V_1) \times (U_2 \cap V_2) \times \cdots \times (U_n \cap V_n).$$ Chaque $U_i \cap V_i \in \mathcal{T}_i$ (axiome 3 sur $\mathcal{T}_i$), donc $B_1 \cap B_2$ est lui-même un pavé de $\mathcal{B}$. On peut donc prendre $B = B_1 \cap B_2$ pour tout point $x$ de l'intersection : $x \in B \subseteq B_1 \cap B_2$. ✓
Conclusion Par la Proposition I.6, $\mathcal{B}$ est bien base d'une topologie sur $\prod_i X_i$, à savoir $\mathcal{T}_\text{prod} = \{\text{unions d'éléments de } \mathcal{B}\}$. $\blacksquare$

Attention — cas fini vs infini

Dans le cas fini, la condition (2) marche parce que l'intersection de deux pavés est encore un pavé de $\mathcal{B}$. Dans le cas infini, cela ne marche plus : l'intersection $\bigcap_i U_i$ d'une famille infinie d'ouverts n'est plus nécessairement ouverte, et il faut restreindre la base à des pavés « presque partout » égaux à $X_i$. C'est le sujet de la Leçon 6.

3. Propriété fondamentale — les projections sont continues

Proposition — continuité des projections

Hypothèses : $\prod_i X_i$ muni de la topologie produit $\mathcal{T}_\text{prod}$.

Conclusion : Chaque projection $\pi_j : \prod_i X_i \to X_j$ est continue.

Preuve

Soit $U \in \mathcal{T}_j$. On a $$\pi_j^{-1}(U) \;=\; X_1 \times \cdots \times X_{j-1} \times U \times X_{j+1} \times \cdots \times X_n,$$ qui est un pavé dont chaque facteur est ouvert (les $X_i$ par axiome 1, $U$ par hypothèse). C'est donc un élément de $\mathcal{B}$, en particulier de $\mathcal{T}_\text{prod}$. $\blacksquare$

4. Propriété universelle — critère de continuité vers un produit

La topologie produit est caractérisée par la propriété suivante. C'est un résultat capital, cité comme Remarque 3 du polycopié §I.5.1 :

Théorème — propriété universelle du produit fini

Hypothèses : $X$ espace topologique, $(X_i, \mathcal{T}_i)$ espaces topologiques ($i=1,\ldots,n$), $\prod_i X_i$ muni de $\mathcal{T}_\text{prod}$, et $f : X \to \prod_i X_i$ une application.

Conclusion : $f$ est continue si et seulement si chaque composante $f_i := \pi_i \circ f : X \to X_i$ est continue.

Preuve

Sens direct ($\Rightarrow$) Si $f$ est continue, alors $f_i = \pi_i \circ f$ est composition de deux continues (les projections sont continues, §3), donc continue. C'est un résultat de la Leçon 2.
Sens réciproque ($\Leftarrow$) Supposons chaque $f_i$ continue. Il suffit de montrer que $f^{-1}(B) \in \mathcal{T}_X$ pour tout $B$ dans une base de $\mathcal{T}_\text{prod}$ (car alors $f^{-1}$ d'une union d'éléments de la base est une union d'ouverts, donc ouverte). Prends $B = U_1 \times \cdots \times U_n \in \mathcal{B}$. Alors : $$f^{-1}(B) \;=\; \{ x \in X : f(x) \in U_1 \times \cdots \times U_n \} \;=\; \bigcap_{i=1}^n \{ x \in X : f_i(x) \in U_i \} \;=\; \bigcap_{i=1}^n f_i^{-1}(U_i).$$ Chaque $f_i^{-1}(U_i)$ est ouvert (car $f_i$ continue), donc l'intersection finie $\bigcap_{i=1}^n f_i^{-1}(U_i)$ est ouverte (axiome 3). $\blacksquare$

5. À toi — la diagonale

À prouver

Hypothèses : $(X, \mathcal{T})$ un espace topologique, $X \times X$ muni de la topologie produit.

Conclusion : L'application diagonale $\Delta : X \to X \times X$, $x \mapsto (x, x)$, est continue.

Fais-le sans indice d'abord. La solution tient en 3 lignes si tu utilises la propriété universelle.

Indices progressifs

Indice 1 — quel réflexe utiliser ?

$\Delta$ est une application vers un produit. Par la propriété universelle du §4, il suffit de montrer que $\pi_i \circ \Delta$ est continue pour $i = 1, 2$.

Indice 2 — que valent $\pi_1 \circ \Delta$ et $\pi_2 \circ \Delta$ ?

$\pi_1 \circ \Delta(x) = \pi_1(x, x) = x$ et $\pi_2 \circ \Delta(x) = \pi_2(x, x) = x$. Donc $\pi_1 \circ \Delta = \pi_2 \circ \Delta = \text{id}_X$.

Solution complète

Preuve. Par la propriété universelle du produit fini (§4), $\Delta$ est continue ssi $\pi_1 \circ \Delta$ et $\pi_2 \circ \Delta$ le sont. Or $\pi_1 \circ \Delta(x) = \pi_1(x, x) = x = \text{id}_X(x)$, donc $\pi_1 \circ \Delta = \text{id}_X$, qui est continue (l'identité est toujours continue, cf. Leçon 2). Idem pour $\pi_2 \circ \Delta$. Donc $\Delta$ est continue. $\blacksquare$

Remarque. Cet exercice met en scène le vrai pouvoir de la propriété universelle : dès qu'on a une application vers un produit, on n'a plus jamais besoin de raisonner sur $\mathcal{T}_\text{prod}$ directement — on regarde les composantes et c'est tout.

6. Quiz de rappel

Q1 — restitution complète

Définis la topologie produit fini sur $X_1 \times \cdots \times X_n$ (base + engendrement).

Vérifier

Base : $\mathcal{B} = \{U_1 \times \cdots \times U_n : U_i \in \mathcal{T}_i \text{ pour tout } i\}$. Topologie : $\mathcal{T}_\text{prod}$ est la topologie engendrée par $\mathcal{B}$ (au sens de la Prop I.6), i.e. l'ensemble des unions d'éléments de $\mathcal{B}$.

Pourquoi la vérification que $\mathcal{B}$ est une base fonctionne-t-elle uniquement parce qu'on est dans le cas fini ?

Vérifier

Parce que l'intersection $B_1 \cap B_2 = (U_1 \cap V_1) \times \cdots \times (U_n \cap V_n)$ nécessite que chaque $U_i \cap V_i$ soit ouvert dans $X_i$ — et l'axiome 3 (intersection finie d'ouverts est ouverte) exige un nombre fini de facteurs. Pour un produit infini, l'intersection $\bigcap_i U_i$ n'est plus nécessairement ouverte, et la condition (2) de la Prop I.6 tombe.

Q3 — restitution complète

Énonce la propriété universelle du produit fini (hypothèses, conclusion).

Vérifier

Hyp. $X$ espace topologique, $(X_i, \mathcal{T}_i)$ espaces topologiques, $\prod_i X_i$ muni de $\mathcal{T}_\text{prod}$, $f : X \to \prod_i X_i$. Conclusion. $f$ est continue ssi chaque $\pi_i \circ f : X \to X_i$ est continue.

Q4 — pattern général

Pour montrer qu'une application vers un produit fini est continue, quel est le réflexe systématique ?

Vérifier

Utiliser la propriété universelle : ne pas raisonner sur $\mathcal{T}_\text{prod}$ directement, mais vérifier que chaque composante $\pi_i \circ f$ est continue. C'est presque toujours beaucoup plus simple.

7. Récap et micro-victoire

La grande leçon de ce chapitre est la propriété universelle. Chaque fois que tu vois une application vers un produit, ne cherche pas à décrire directement les ouverts — regarde les projections. On la réutilisera systématiquement dès la Leçon 6 pour prouver que l'application tertiaire $\sigma_3$ est continue.