Deux topologies concurrentes sur un produit infini — et un joyau : Cantor comme produit déguisé.
Cette leçon couvre trois notions du champ d'examen (liste 1) : la topologie produit sur $X^S$ (avec $S$ possiblement infini), l'ensemble de Cantor, et l'application tertiaire. Le polycopié Cimasoni §I.5.1 traite la topologie produit (fini et infini). L'ensemble de Cantor et son application tertiaire ne figurent pas dans le polycopié incomplet — on s'appuie ici sur la présentation classique (voir Munkres §27) qui correspond au cours magistral.
Le produit d'une famille d'ensembles $\{X_i\}_{i \in I}$ indexée par un ensemble $I$ quelconque est $$\prod_{i \in I} X_i \;=\; \Bigl\{\, x : I \to \bigcup_{i \in I} X_i \;\Bigm|\; x(i) \in X_i \text{ pour tout } i \in I \,\Bigr\}.$$ On note habituellement $x = (x_i)_{i \in I}$ avec $x_i := x(i)$. Pour chaque $j \in I$, la projection naturelle $\pi_j : \prod_{i \in I} X_i \to X_j$ est définie par $\pi_j(x) = x_j$.
Si $\{X_i\}_{i \in I}$ est constante ($X_i = X$ pour tout $i$), le produit est simplement l'ensemble des applications $I \to X$, noté $X^I$ (ou $X^S$ avec $S$ à la place de $I$).
On suppose maintenant chaque $X_i$ muni d'une topologie $\mathcal{T}_i$. Question : comment définir une topologie naturelle sur $\prod_{i \in I} X_i$ ?
Le polycopié considère deux topologies concurrentes, qui coïncident si $I$ est fini mais divergent si $I$ est infini.
La topologie des boîtes sur $\prod_{i \in I} X_i$ est la topologie engendrée par la base $$\mathcal{B}' \;=\; \Bigl\{\, \prod_{i \in I} U_i \;\Bigm|\; U_i \text{ ouvert de } X_i \text{ pour tout } i \in I \,\Bigr\}.$$
La topologie produit sur $\prod_{i \in I} X_i$ est engendrée par la sous-base $$S \;=\; \bigl\{\, \pi_j^{-1}(U_j) \;\bigm|\; j \in I,\; U_j \text{ ouvert de } X_j \,\bigr\}.$$ Sa base est l'ensemble des intersections finies d'éléments de $S$ : $$\mathcal{B} \;=\; \Bigl\{\, \prod_{j \in J} U_j \times \prod_{i \in I \setminus J} X_i \;\Bigm|\; J \subseteq I \text{ fini},\; U_j \text{ ouvert de } X_j \,\Bigr\}.$$
Un ouvert-boîte impose une contrainte sur toutes les coordonnées (potentiellement infiniment nombreuses). Un ouvert-produit n'impose de contrainte que sur un nombre fini de coordonnées ; les autres sont laissées libres (= $X_i$).
Si $I$ est fini, $\mathcal{B} = \mathcal{B}'$ et les deux topologies coïncident. Si $I$ est infini, la topologie produit est strictement moins fine que celle des boîtes.
Le polycopié donne l'exemple décisif. Considère $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ définie par $f(t) = (t, t, t, \dots)$ — l'application diagonale, éminemment naturelle.
Prenons $U_i = (-\tfrac{1}{i}, \tfrac{1}{i})$ pour tout $i \in \mathbb{N}$. Le produit $$U \;=\; \prod_{i \in \mathbb{N}} U_i \;=\; (-1, 1) \times (-\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2}) \times (-\tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{3}) \times \cdots$$ est un ouvert-boîte de $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$. Or $$f^{-1}(U) \;=\; \{ t \in \mathbb{R} : t \in U_i \text{ pour tout } i \} \;=\; \bigcap_{i} U_i \;=\; \{0\},$$ qui n'est pas ouvert dans $\mathbb{R}$. Donc $f$ n'est pas continue pour la topologie des boîtes.
À l'inverse, la propriété universelle ci-dessous montre que $f$ est continue pour la topologie produit. C'est cette propriété qui justifie le choix (et est un des théorèmes-clés à retenir).
Hypothèses : $X$ espace topologique, $\{X_i\}_{i \in I}$ famille d'espaces topologiques, $\prod_i X_i$ muni de la topologie produit, et $\{f_i : X \to X_i\}_{i \in I}$ une famille d'applications. Notons $f : X \to \prod_i X_i$ l'unique application telle que $\pi_i \circ f = f_i$ pour tout $i$.
Conclusion : $f$ est continue si et seulement si chaque $f_i$ est continue.
($\Rightarrow$) Si $f$ est continue, chaque $f_i = \pi_i \circ f$ est composée de continues, donc continue.
($\Leftarrow$) Supposons chaque $f_i$ continue. Pour tout élément $\pi_i^{-1}(U_i)$ de la sous-base $S$ : $$f^{-1}\bigl(\pi_i^{-1}(U_i)\bigr) \;=\; (\pi_i \circ f)^{-1}(U_i) \;=\; f_i^{-1}(U_i),$$ ouvert dans $X$ car $f_i$ est continue. Il suffit de vérifier la continuité sur une sous-base (car les images réciproques commutent avec les unions et intersections finies) — donc $f$ est continue. $\blacksquare$
Retiens : la topologie produit est la topologie la moins fine qui rende toutes les projections continues (polycopié, Remarque 2).
On construit un sous-ensemble remarquable de $[0, 1]$ par suppressions itérées. À chaque étape, on retire le tiers du milieu ouvert de chaque intervalle restant.
L'ensemble de Cantor est $$K \;=\; \bigcap_{n \geq 0} C_n \;\subseteq\; [0, 1].$$ Muni de la topologie induite par $[0, 1] \subseteq \mathbb{R}$.
Un point $x \in [0, 1]$ appartient à $K$ si et seulement s'il admet un développement en base 3 $$x = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{3^n} \qquad \text{avec } a_n \in \{0, 2\} \text{ pour tout } n.$$
Retirer $(\tfrac{1}{3}, \tfrac{2}{3})$ revient à interdire $a_1 = 1$ (les $x$ dont le premier chiffre ternaire est $1$ sont dans $(\tfrac{1}{3}, \tfrac{2}{3})$, aux extrémités ambiguës près qui admettent une autre écriture). À l'étape suivante, retirer les tiers du milieu de $[0, \tfrac{1}{3}]$ et $[\tfrac{2}{3}, 1]$ revient à interdire $a_2 = 1$. Et ainsi de suite : $x \in K$ ssi aucun chiffre ternaire n'est $1$ (en choisissant l'écriture appropriée pour les cas ambigus). $\blacksquare$
Voici la définition officielle de ton cours (Cours 6 du champ). L'idée : prendre une suite de « chiffres » en base $N$ et reconstruire le nombre réel correspondant dans $[0, 1]$.
Pour tout entier $N \geq 2$, l'application $\sigma_N$ est $$\sigma_N \;:\; \{0, 1, \ldots, N-1\}^{\mathbb{N}} \longrightarrow [0, 1], \qquad (x_1, x_2, \ldots) \;\longmapsto\; \sum_{i=1}^{\infty} \frac{x_i}{N^i}.$$ L'espace source $\{0, 1, \ldots, N-1\}^{\mathbb{N}}$ est muni de la topologie produit (chaque facteur discret).
Pour $N = 10$, $\sigma_{10}$ prend la suite des décimales et renvoie le réel correspondant : $\sigma_{10}(1, 4, 1, 5, 9, 2, \ldots) = 0{,}141592\ldots$. Pour $N = 2$, c'est le développement binaire. Le cas $N = 3$ — l'application tertiaire — est celui qui nous relie à Cantor : $\sigma_3(x) = \sum x_i / 3^i$ avec $x_i \in \{0, 1, 2\}$.
Hypothèses : $N \geq 2$ entier, $\sigma_N$ définie comme ci-dessus.
Conclusion : $\sigma_N$ est continue et surjective, mais pas injective en général.
Donc $\sigma_N$ elle-même n'est pas un homéomorphisme (elle n'est même pas bijective). Le miracle du Cours 6 est qu'en restreignant le domaine, on obtient un homéomorphisme — c'est ce qu'on va prouver maintenant, pour le cas $N = 3$ restreint à $\{0, 2\}^{\mathbb{N}}$ (la connexion avec Cantor).
Hypothèses : $\sigma_3 : \{0, 1, 2\}^{\mathbb{N}} \to [0, 1]$ l'application tertiaire ; $\{0, 2\} \subseteq \{0, 1, 2\}$ muni de la topologie induite discrète ; $\{0, 2\}^{\mathbb{N}}$ muni de la topologie produit ; $K \subseteq [0, 1]$ l'ensemble de Cantor muni de la topologie induite.
Conclusion : La restriction $\sigma_3 |_{\{0, 2\}^{\mathbb{N}}} : \{0, 2\}^{\mathbb{N}} \to K$ est un homéomorphisme.
La partie non triviale est la continuité de $\sigma_3^{-1}$. On peut la démontrer directement (long, technique), ou via le théorème « bij. continue compact → séparé = homéo » (élégant, 2 lignes). C'est un exemple typique d'un phénomène récurrent : la compacité rachète la continuité de l'inverse.
Le même mécanisme fonctionne pour d'autres bases. En base 2 restreinte à $\{0, 1\}^{\mathbb{N}}$, $\sigma_2$ envoie sur $[0, 1]$ mais reste non injective (le classique $0{,}0111\ldots_2 = 0{,}1_2 = 1/2$) : le domaine « bit » n'a pas de trou pour tuer l'ambiguïté. Pour Cantor, c'est le fait que $\{0, 2\}$ « saute » le chiffre 1 qui permet la bijection.
Hypothèses : $\{X_i\}_{i \in I}$ famille d'espaces topologiques, $\prod_i X_i$ muni de la topologie produit.
Conclusion : Pour chaque $j \in I$, la projection $\pi_j : \prod_i X_i \to X_j$ est continue.
Cette propriété est en fait immédiate par construction — mais l'exercice est de le voir clairement. Écris la preuve en une ligne avant de dérouler l'indice.
Preuve. Soit $U_j$ ouvert de $X_j$. Par définition de la topologie produit, $\pi_j^{-1}(U_j)$ appartient à la sous-base $S$, donc en particulier à la topologie engendrée $\mathcal{T}_S$. C'est-à-dire que $\pi_j^{-1}(U_j)$ est ouvert dans $\prod_i X_i$. Cela vaut pour tout $U_j$ ouvert, donc $\pi_j$ est continue. $\blacksquare$
Remarque. La topologie produit est précisément construite pour rendre les projections continues. Comme la sous-base $S$ contient exactement les $\pi_j^{-1}(U_j)$ nécessaires, on obtient la continuité gratuitement. Mieux : la Remarque 2 du polycopié affirme que c'est la plus petite topologie ayant cette propriété.
Énonce la base $\mathcal{B}$ de la topologie produit sur $\prod_{i \in I} X_i$ (avec ses conditions).
En une phrase : quelle est la différence entre topologie des boîtes et topologie produit ?
Énonce la propriété universelle de la topologie produit (hypothèses, conclusion).
Caractérisation ternaire : $x \in K$ ssi ...
Écris la formule générale de $\sigma_N$, puis spécialise à $\sigma_3$ restreinte à $\{0, 2\}^{\mathbb{N}} \to K$. Quel théorème de compacité rend la preuve de $\sigma_3^{-1}$ continue élégante ?
Vrai ou faux : la topologie produit sur $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ coïncide avec la topologie des boîtes.
Tu tiens maintenant :
L'application tertiaire est plus qu'une curiosité : elle est un modèle de la façon dont un espace compact « exotique » peut être décrit comme un produit infini d'objets simples. C'est aussi pour cela que Cantor apparaît naturellement dans la théorie (fractales, dynamique symbolique, etc.).