Espaces séparés, suites, unicité de la limite

Une convergence topologique — et pourquoi la « limite » d'une suite n'a de sens que dans un cadre séparé.

Dans un espace topologique quelconque, on peut définir la convergence d'une suite $(x_n)$ vers un point $x$ — la définition remplace juste les $\varepsilon$ par des « ouverts contenant $x$ ». Mais un phénomène gênant apparaît : rien n'empêche a priori $(x_n)$ de converger vers deux points distincts en même temps. Il existe une classe naturelle d'espaces où ce phénomène est interdit : les espaces séparés (aussi appelés Hausdorff, ou $T_2$). Cette leçon couvre exactement cela — et prouve la Proposition I.8 du polycopié (« La limite est unique dans un espace séparé »), qui est une preuve du champ d'examen (Cours 7).

1. Suites dans un espace topologique

Définition — Suite (polycopié §I.6)

Soit $X$ un ensemble. Une suite dans $X$ est une application $$\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\} \longrightarrow X, \qquad n \longmapsto x_n,$$ habituellement notée $(x_n)$.

Définition — Sous-suite

Soit $(x_n)$ une suite dans $X$. Une sous-suite de $(x_n)$ est une suite de la forme $(x_{n_k})_{k \geq 1}$ où $(n_k)_{k \geq 1}$ est une suite d'entiers strictement croissante : $$n_1 < n_2 < n_3 < \ldots$$

Remarque. La stricte croissance des indices garantit qu'on ne « recycle » aucun terme et qu'on avance dans la suite d'origine. Un cas typique : $x_{2k}$ est la sous-suite des termes d'indice pair de $(x_n)$.

Définition — Limite / Convergence (polycopié §I.6)

Soit $(X, \mathcal{T})$ un espace topologique et $(x_n)$ une suite dans $X$. Un élément $x \in X$ est appelé limite de $(x_n)$ dans $X$ si $$\text{pour tout } U \in \mathcal{T} \text{ contenant } x, \text{ il existe } N \text{ tel que } n \geq N \Rightarrow x_n \in U.$$ Dans ce cas, on dit que la suite $(x_n)$ converge vers $x \in X$, noté $x_n \to x$.

Deux points à noter dans cette définition :

Exemples (polycopié §I.6)
Le phénomène gênant — plusieurs limites possibles

Le troisième exemple ci-dessus est révélateur : dans $(X, \mathcal{T}_{\text{triv}})$ avec $|X| \geq 2$, la suite constante $x_n = a$ converge vers $a$, mais aussi vers tout autre point $b \in X$ (car $X$ est le seul ouvert contenant $b$). Une même suite a alors plusieurs limites. C'est mathématiquement licite, mais empêche de parler de « la » limite. Il faut une hypothèse supplémentaire sur $\mathcal{T}$ pour interdire ce comportement : la séparation.

2. Espaces séparés

Définition — Séparé (Hausdorff, $T_2$) — polycopié §I.6

Un espace topologique $X$ est dit séparé (ou Hausdorff, ou $T_2$) si pour tout $x \neq y \in X$, il existe des ouverts $U, V \subseteq X$ disjoints avec $x \in U$ et $y \in V$.

Autrement dit : deux points distincts peuvent toujours être « isolés » l'un de l'autre par deux ouverts qui ne se rencontrent pas. Image mentale : deux petites bulles ouvertes autour de $x$ et $y$ qui ne se touchent pas.

Exemples (polycopié §I.6)
  1. Tout espace discret est séparé : prendre $U = \{x\}$ et $V = \{y\}$.
  2. Tout espace métrique $(X, d)$ est séparé : si $x \neq y$, alors $r := d(x, y) / 2 > 0$ et les boules $B(x, r)$ et $B(y, r)$ sont ouvertes, contiennent $x$ et $y$ respectivement, et sont disjointes (par l'inégalité triangulaire).
  3. Un ensemble $X$ avec $|X| \geq 2$ muni de la topologie triviale n'est pas séparé (les seuls ouverts non-vides sont $X$, qui n'est pas disjoint de lui-même).
  4. Un ensemble infini muni de la topologie cofinie $\mathcal{T}_f = \{U \subseteq X \mid X \setminus U \text{ fini}\} \cup \{\emptyset\}$ n'est pas séparé (deux ouverts non-vides ne sont jamais disjoints — leur intersection est le complémentaire d'un ensemble fini).
Propriétés (polycopié §I.6, remarques)

« Être séparé » est stable par les opérations naturelles :

  1. Un sous-espace d'un espace séparé est séparé.
  2. Un produit d'espaces séparés est séparé.
  3. Mais le quotient d'un séparé n'est pas nécessairement séparé (contre-intuitif — retenir !).

C'est aussi une propriété topologique, c'est-à-dire préservée par homéomorphisme.

3. Preuve du champ — unicité de la limite dans un séparé

Proposition I.8 (polycopié §I.6) — LA preuve du champ (Cours 7)

Hypothèses : $X$ un espace topologique séparé, $(x_n)$ une suite dans $X$.

Conclusion : Si $(x_n)$ converge vers $x \in X$ et $(x_n)$ converge vers $y \in X$, alors $x = y$.

Applique le protocole : la conclusion est « $x = y$ ». Pour la prouver, on va montrer la contraposée : si $y \neq x$, alors $(x_n)$ ne peut pas converger vers $y$.

Preuve — pas à pas
  1. Cadrage — contraposée Supposons $(x_n)$ converge vers $x$. Soit $y \in X$ avec $y \neq x$. Il s'agit de vérifier que $(x_n)$ ne converge pas vers $y$.
  2. Invoquer l'hypothèse « séparé » Comme $x \neq y$ dans un espace séparé, il existe des ouverts $U, V \subseteq X$ disjoints avec $x \in U$ et $y \in V$.
  3. Utiliser la convergence vers $x$ Comme $(x_n) \to x$ et $U$ est un ouvert contenant $x$, il existe $N$ tel que $$n \geq N \;\Longrightarrow\; x_n \in U.$$
  4. Exploiter la disjonction $U \cap V = \emptyset$ Puisque $U \cap V = \emptyset$, être dans $U$ interdit d'être dans $V$. Donc pour tout $n \geq N$, on a $x_n \notin V$.
  5. Conclure la non-convergence vers $y$ $V$ est un ouvert contenant $y$, mais aucun rang $N'$ ne peut satisfaire « $n \geq N' \Rightarrow x_n \in V$ » (car dès $n \geq \max(N, N')$, $x_n \in U$ donc $x_n \notin V$). La définition de la convergence vers $y$ échoue donc, et $(x_n) \not\to y$. $\blacksquare$
Ce qui fait marcher la preuve

Un seul ingrédient : l'existence des deux ouverts disjoints. Si $X$ n'était pas séparé, on ne pourrait pas séparer $x$ et $y$ par des ouverts disjoints, et l'étape 4 tomberait — la suite pourrait vivre dans l'intersection $U \cap V$ et converger vers les deux à la fois. La séparation est exactement ce qu'il faut, ni plus, ni moins, pour l'unicité.

Une réciproque partielle (culturel, hors champ)

La question naturelle est : si toute suite convergente a une limite unique, l'espace est-il forcément séparé ? La réponse est « pas toujours » en général (le polycopié §I.6 donne un contre-exemple avec la topologie codénombrable sur un ensemble non-dénombrable). L'équivalence n'est vraie que sous une hypothèse supplémentaire (« à base dénombrable de voisinages », théorème I.11 du polycopié). Ceci n'est pas au champ ; retiens juste : séparé $\Rightarrow$ unicité, la réciproque demande plus.

4. À toi — plusieurs limites dans un non-séparé

Pour intérioriser pourquoi la séparation est indispensable, construis un contre-exemple explicite.

À prouver

Hypothèses : $X = \{a, b\}$ (deux éléments distincts) muni de la topologie triviale $\mathcal{T} = \{\emptyset, X\}$. Soit $(x_n)$ la suite constante $x_n = a$ pour tout $n$.

Conclusion à établir : $(x_n)$ converge à la fois vers $a$ et vers $b$.

Indices progressifs
Indice 1 — quels sont les ouverts contenant $a$ ? Ceux contenant $b$ ?
Les ouverts de $X$ sont $\emptyset$ et $X$. Les ouverts contenant $a$ : uniquement $X$ (car $\emptyset$ ne contient rien). Idem pour $b$ : uniquement $X$.
Indice 2 — appliquer la définition de convergence vers $a$
« $(x_n) \to a$ » signifie : pour tout ouvert $U$ contenant $a$, il existe $N$ tel que $n \geq N \Rightarrow x_n \in U$. Le seul $U$ à considérer est $U = X$. Or $x_n = a \in X$ pour tout $n$, donc $N = 1$ marche.
Indice 3 — même chose pour $b$
« $(x_n) \to b$ » : pour tout ouvert $V$ contenant $b$, il existe $N$ tel que $n \geq N \Rightarrow x_n \in V$. Le seul $V$ est $X$. Et $x_n = a \in X$. Donc $N = 1$ marche aussi.
Solution complète

Preuve. La topologie $\mathcal{T} = \{\emptyset, X\}$ ne contient que deux ouverts : $\emptyset$ et $X = \{a, b\}$.

Convergence vers $a$. Soit $U \in \mathcal{T}$ avec $a \in U$. Puisque $a \notin \emptyset$, on a nécessairement $U = X$. Pour $N = 1$ : pour tout $n \geq 1$, $x_n = a \in X = U$. Donc $x_n \to a$.

Convergence vers $b$. Soit $V \in \mathcal{T}$ avec $b \in V$. Puisque $b \notin \emptyset$, $V = X$. Pour $N = 1$ : pour tout $n \geq 1$, $x_n = a \in X = V$. Donc $x_n \to b$.

La suite constante en $a$ a donc deux limites distinctes, $a$ et $b$. $\blacksquare$

Morale. Sans séparation, la définition de convergence est trop laxiste : rien n'oblige la suite à « choisir » une limite. C'est bien la disjonction $U \cap V = \emptyset$ (impossible ici, car $U = V = X$) qui forcerait le choix.

5. Quiz de rappel

Q1 — restitution complète

Définis : une suite dans un ensemble $X$, puis la limite d'une suite dans un espace topologique $(X, \mathcal{T})$.

Vérifier
Suite. Application $\mathbb{N} \to X$, notée $(x_n)$. Limite / convergence. $x \in X$ est limite de $(x_n)$ si pour tout $U \in \mathcal{T}$ contenant $x$, il existe $N$ tel que $n \geq N \Rightarrow x_n \in U$. Notation : $x_n \to x$.
Q2 — restitution complète

Définis une sous-suite de $(x_n)$.

Vérifier
Une suite de la forme $(x_{n_k})_{k \geq 1}$ où $(n_k)$ est une suite d'entiers strictement croissante ($n_1 < n_2 < \ldots$).
Q3 — restitution complète

Énonce la définition d'un espace séparé (Hausdorff, $T_2$).

Vérifier
$X$ est séparé si $\forall x \neq y \in X$, il existe des ouverts $U, V \subseteq X$ disjoints avec $x \in U$ et $y \in V$.
Q4 — la preuve du champ

Énonce la Proposition I.8 (hypothèses + conclusion). Puis résume en une phrase l'ingrédient-clé de la preuve.

Vérifier
Énoncé. Soit $X$ séparé et $(x_n)$ une suite dans $X$. Si $x_n \to x$ et $x_n \to y$, alors $x = y$. Ingrédient-clé. L'existence de deux ouverts disjoints $U \ni x$ et $V \ni y$ (par séparation) : la suite, obligée d'entrer dans $U$ à partir d'un certain rang, ne peut plus entrer dans $V$, donc ne converge pas vers $y$.
Q5 — piège

Vrai ou faux : « toute suite convergente a une limite unique » implique « l'espace est séparé ».

Vérifier
Faux en général. La réciproque de la Prop I.8 n'est pas vraie sans hypothèse supplémentaire (le polycopié donne un contre-exemple : topologie codénombrable sur un ensemble non-dénombrable). L'équivalence exige « à base dénombrable de voisinages » (Théorème I.11) — hors champ pour l'examen.

6. Récap et micro-victoire

Tu tiens maintenant :

Le rôle de la séparation revient dans plusieurs preuves du champ à venir — notamment « compact dans séparé est fermé » (Leçon 10) et « bijection continue d'un compact vers un séparé est un homéomorphisme » (Leçon 11). L'hypothèse « séparé » n'est jamais gratuite — quand tu l'utilises, tu invoques toujours l'existence d'ouverts disjoints.

Source primaire — Polycopié Cimasoni, §I.6 « Suites et limites » (pages 30-32). La définition de séparé est page 31 (juste après les exemples de convergence), la Proposition I.8 est page 32. Preuve dans le polycopié en un paragraphe compact — décomposée ici en 5 étapes. Complément anglais : Munkres, §17 (Closed Sets and Limit Points) — attention, Munkres traite les limites de suites dans un cadre plus large (points d'accumulation via $A'$), mais l'axiome $T_2$ (Hausdorff) et le Theorem 17.10 (unicité) coïncident avec Cimasoni.

Prochaine leçon — Topologie ponctuelle sur l'espace PL (Cours 8 du champ) : on continuera la thématique « convergence » en comparant $\mathcal{T}_{\text{ponct}}$, $\mathcal{T}_{\text{taxi}}$ et $\mathcal{T}_{\text{max}}$ sur l'espace des applications, avec les preuves d'inclusion et de non-inclusion du champ.

Points à surveiller : la preuve de la Prop I.8 tient en cinq étapes très mécaniques — assure-toi de pouvoir la refaire au brouillon sans ce document, en partant simplement de « je veux montrer $x = y$, je prouve la contraposée ». C'est la preuve la plus courte du champ et probablement la moins risquée à réciter le jour J.