Topologie ponctuelle sur l'espace PL

1. Sens $(\Rightarrow)$ — convergence dans $\mathcal{T}_{\text{ponct}}$ implique convergence ponctuelle Supposons $f_n \to f$ dans $\mathcal{T}_{\text{ponct}}$. Fixons $x \in [0, 1]$ et un intervalle ouvert $I \subseteq \mathbb{R}$ avec $f(x) \in I$. Le cylindre $$U \;=\; \{g \in PL : g(x) \in I\}$$ est un ouvert basique de $\mathcal{T}_{\text{ponct}}$ (un seul point $x$, une seule contrainte) contenant $f$. Par définition de la convergence topologique, il existe $N$ tel que $f_n \in U$ pour tout $n \geq N$, c'est-à-dire $f_n(x) \in I$ pour $n \geq N$. Comme ceci vaut pour tout ouvert $I \ni f(x)$, on a $f_n(x) \to f(x)$ dans $\mathbb{R}$. Ceci vaut pour tout $x$, d'où la convergence ponctuelle.
2. Sens $(\Leftarrow)$ — convergence ponctuelle implique convergence dans $\mathcal{T}_{\text{ponct}}$ Supposons $f_n(x) \to f(x)$ pour tout $x \in [0, 1]$. Soit $U \in \mathcal{B}_{PL}$ contenant $f$ : il existe $x_1, \ldots, x_k$ et ouverts $I_1, \ldots, I_k$ avec $f(x_j) \in I_j$ tels que $U = \{g \in PL : g(x_j) \in I_j \text{ pour } j = 1, \ldots, k\}$.
   
   Pour chaque $j$, comme $f_n(x_j) \to f(x_j)$ et $I_j$ est un ouvert de $\mathbb{R}$ contenant $f(x_j)$, il existe $N_j$ tel que $f_n(x_j) \in I_j$ pour $n \geq N_j$. Posons $N = \max(N_1, \ldots, N_k)$. Pour $n \geq N$, on a simultanément $f_n(x_j) \in I_j$ pour tous les $j$, donc $f_n \in U$. Ceci vaut pour tout ouvert basique $U \ni f$, donc $f_n \to f$ dans $\mathcal{T}_{\text{ponct}}$. $\blacksquare$

• $f_n \to 0$ dans $\mathcal{T}_{\text{taxi}}$ : l'aire sous la tente vaut $\tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{2}{n} \cdot \sqrt{n} = \tfrac{1}{\sqrt{n}} \to 0$, donc $d_{\text{taxi}}(f_n, 0) = \tfrac{1}{\sqrt{n}} \to 0$.
• $f_n \not\to 0$ dans $\mathcal{T}_{\max}$ : $d_{\max}(f_n, 0) = \max |f_n| = \sqrt{n} \to +\infty$, en particulier ne tend pas vers $0$.

Par le critère, $\mathcal{T}_{\max} \not\supseteq \mathcal{T}_{\text{taxi}}$... mais on a déjà prouvé $\mathcal{T}_{\max} \supseteq \mathcal{T}_{\text{taxi}}$. La subtilité : $\mathcal{T}_{\max} = \mathcal{T}_{\text{taxi}}$ impliquerait équivalence des convergences. Ici on a $f_n \to 0$ pour $\mathcal{T}_{\text{taxi}}$ mais pas pour $\mathcal{T}_{\max}$, donc les topologies ne sont pas égales : $\mathcal{T}_{\text{taxi}} \subsetneq \mathcal{T}_{\max}$. $\blacksquare$

La même suite $(f_n)$ ci-dessus fait l'affaire :

• $f_n \to 0$ dans $\mathcal{T}_{\text{ponct}}$ : par le Théorème §3, il suffit de la convergence ponctuelle. Pour $x = 0$ : $f_n(0) = 0$ pour tout $n$. Pour $x > 0$ : dès que $n$ vérifie $\tfrac{2}{n} < x$, on a $f_n(x) = 0$. Donc $f_n(x) \to 0$ pour tout $x \in [0, 1]$. ✓
• $f_n \not\to 0$ dans $\mathcal{T}_{\max}$ : comme au §5.1, $d_{\max}(f_n, 0) = \sqrt{n} \not\to 0$.

Donc $\mathcal{T}_{\text{ponct}} \subsetneq \mathcal{T}_{\max}$. $\blacksquare$

Pour $n \geq 1$, on définit $h_n \in PL$ (tente de sommet $(\tfrac{1}{n}, n)$, support $[0, \tfrac{2}{n}]$) : $$h_n(x) \;=\; \begin{cases} n^2 x & x \in [0, 1/n], \\ n^2 (2/n - x) & x \in [1/n, 2/n], \\ 0 & x \in [2/n, 1]. \end{cases}$$

• $h_n \to 0$ dans $\mathcal{T}_{\text{ponct}}$ : même argument que §5.2. Pour $x = 0$, $h_n(0) = 0$. Pour $x > 0$, dès que $\tfrac{2}{n} < x$, $h_n(x) = 0$. Donc $h_n(x) \to 0$ pour tout $x$. ✓
• $h_n \not\to 0$ dans $\mathcal{T}_{\text{taxi}}$ : l'aire de la tente vaut $\tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{2}{n} \cdot n = 1$, constante. Donc $d_{\text{taxi}}(h_n, 0) = 1 \not\to 0$. ✗

Par le critère, $\mathcal{T}_{\text{taxi}} \not\supseteq \mathcal{T}_{\text{ponct}}$. $\blacksquare$

Énumérons les rationnels dyadiques de $(0, 1)$ (ou plus simplement les positions $x_n = \tfrac{1}{2} + \tfrac{(-1)^n}{4}$, alternant entre $\tfrac{1}{4}$ et $\tfrac{3}{4}$). Pour $n \geq 1$, définissons $g_n$ comme la tente de hauteur $1$, support $[x_n - \tfrac{1}{n}, x_n + \tfrac{1}{n}] \cap [0, 1]$, sommet $(x_n, 1)$.

• $g_n \to 0$ dans $\mathcal{T}_{\text{taxi}}$ : l'aire de la tente vaut $\tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{2}{n} \cdot 1 = \tfrac{1}{n} \to 0$. Donc $d_{\text{taxi}}(g_n, 0) \leq \tfrac{1}{n} \to 0$. ✓
• $g_n \not\to 0$ ponctuellement : considérons $x = \tfrac{1}{2}$. Pour tout $n$, $x_n = \tfrac{1}{2} \pm \tfrac{1}{4}$, donc $|x - x_n| = \tfrac{1}{4}$. Dès que $\tfrac{1}{n} < \tfrac{1}{4}$ (i.e. $n \geq 5$), $x = \tfrac{1}{2}$ est en dehors du support de $g_n$, donc $g_n(\tfrac{1}{2}) = 0$. Bon, cet exemple précis converge en $\tfrac{1}{2}$. Il faut une position visitée infiniment souvent.

Correction : pour la « non-convergence ponctuelle », il faut que la position visite $x = \tfrac{1}{2}$ infiniment souvent avec une largeur qui recouvre encore ce point. Le plus simple :

Suite alternative — tente fixe de hauteur alternée : définir $\tilde{g}_n(x)$ = tente de hauteur $\alpha_n$ où $\alpha_n = 1$ si $n$ pair, $\alpha_n = 0$ si $n$ impair, support $[0, \tfrac{2}{n}]$, sommet à $\tfrac{1}{n}$. Alors :

• $d_{\text{taxi}}(\tilde{g}_n, 0) = \alpha_n \cdot \tfrac{1}{n} \leq \tfrac{1}{n} \to 0$. ✓
• Ponctuellement : $\tilde{g}_n(0) = 0$ pour tout $n$ ; pour $x > 0$ fixé, on a $\tilde{g}_n(x) = 0$ dès que $\tfrac{2}{n} < x$. Donc ponctuellement $\tilde{g}_n(x) \to 0$. Zut, ça converge aussi ponctuellement.

Suite définitive — spikes ponctuellement divergents : considérons $g_n$ défini comme la tente de sommet $(\tfrac{1}{2}, 1)$ si $n$ pair, et $g_n \equiv 0$ si $n$ impair, avec support $[\tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{n}, \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{n}]$ pour $n$ pair.

• $d_{\text{taxi}}(g_n, 0)$ : pour $n$ pair, aire $= \tfrac{1}{n} \to 0$ ; pour $n$ impair, $= 0$. Donc $d_{\text{taxi}}(g_n, 0) \to 0$. ✓
• Ponctuellement en $x = \tfrac{1}{2}$ : $g_n(\tfrac{1}{2}) = 1$ pour $n$ pair, $= 0$ pour $n$ impair. Ne converge pas. ✗

Donc $(g_n) \to 0$ dans $\mathcal{T}_{\text{taxi}}$ mais pas dans $\mathcal{T}_{\text{ponct}}$, ce qui donne $\mathcal{T}_{\text{ponct}} \not\supseteq \mathcal{T}_{\text{taxi}}$. $\blacksquare$