Compacité — définitions et premières propriétés

(1) ⇔ (2). (1) ⇒ (2) : un recouvrement par éléments de $\mathcal{B}$ est a fortiori un recouvrement ouvert, donc admet un sous-recouvrement fini par (1).
(2) ⇒ (1) : soit $\{U_i\}_{i \in I}$ un recouvrement ouvert. Pour chaque $i$ et chaque $x \in U_i$, choisis $B(x, i) \in \mathcal{B}$ avec $x \in B(x, i) \subseteq U_i$ (critère ponctuel des bases, Leçon 3). La famille $\{B(x, i) : i \in I, x \in U_i\}$ est un recouvrement de $X$ par éléments de $\mathcal{B}$. Par (2), il en existe un sous-recouvrement fini $B_1, \dots, B_m$, avec chaque $B_k \subseteq U_{i_k}$. Alors $U_{i_1} \cup \cdots \cup U_{i_m} \supseteq B_1 \cup \cdots \cup B_m = X$.

(1) ⇔ (3). Découle directement de la définition de la topologie induite $\mathcal{T}_Y = \{Y \cap U : U \in \mathcal{T}\}$ (Leçon 2). Un recouvrement ouvert de $Y$ (au sens de $\mathcal{T}_Y$) s'écrit $\{Y \cap U_i\}$ avec $U_i \in \mathcal{T}$, et $Y = \bigcup_i (Y \cap U_i) \iff Y \subseteq \bigcup_i U_i$. Un sous-recouvrement fini de la première famille correspond à une inclusion $Y \subseteq U_{i_1} \cup \cdots \cup U_{i_m}$. $\blacksquare$

1. Déballer la conclusion Par la forme sous-espace (§3, énoncé 3), il faut montrer : pour toute famille $\mathcal{U} = \{U_i\}_{i \in I}$ d'ouverts de $X$ avec $Y \subseteq \bigcup_{i \in I} U_i$, il existe $i_1, \dots, i_m \in I$ tels que $Y \subseteq U_{i_1} \cup \cdots \cup U_{i_m}$.
2. Fabriquer un recouvrement ouvert de $X$ Soit $\mathcal{U} = \{U_i\}_{i \in I}$ comme ci-dessus. Comme $Y$ est fermé, $X \setminus Y$ est ouvert dans $X$. On ajoute cet ouvert à la famille : $$\mathcal{V} \;=\; \{X \setminus Y\} \cup \{U_i\}_{i \in I}.$$ C'est un recouvrement ouvert de $X$ : chaque point de $Y$ est dans un $U_i$ (par hypothèse), chaque point hors de $Y$ est dans $X \setminus Y$.
3. Utiliser la compacité de $X$ Comme $X$ est compact, $\mathcal{V}$ admet un sous-recouvrement fini. Explicitement, il existe $i_1, \dots, i_m \in I$ tels que $$X \;=\; (X \setminus Y) \cup U_{i_1} \cup \cdots \cup U_{i_m}.$$ (On peut toujours supposer que $X \setminus Y$ est parmi les ouverts choisis ; sinon on l'ajoute, cela reste fini.)
4. Restreindre à $Y$ L'égalité ci-dessus, intersectée avec $Y$, donne $Y \subseteq U_{i_1} \cup \cdots \cup U_{i_m}$ (car $Y \cap (X \setminus Y) = \emptyset$). On a trouvé un sous-recouvrement fini de $\mathcal{U}$ recouvrant $Y$. $\blacksquare$

1. Déballer la conclusion « $Y$ fermé dans $X$ » signifie $X \setminus Y$ ouvert dans $X$, ce qui équivaut à : $X \setminus Y$ est voisinage de chacun de ses points. Fixons donc $x \in X \setminus Y$, et cherchons un ouvert $V \subseteq X$ avec $x \in V \subseteq X \setminus Y$.
2. Utiliser la séparation, point par point de $Y$ Pour tout $y \in Y$, on a $x \neq y$ (car $x \notin Y$). Comme $X$ est séparé, il existe des ouverts disjoints $U_y, V_y \subseteq X$ avec $y \in U_y$ et $x \in V_y$.
3. Utiliser la compacité de $Y$ La famille $\{U_y\}_{y \in Y}$ est un recouvrement ouvert de $Y$ (dans le sens de la forme sous-espace : chaque $U_y \in \mathcal{T}$ et $Y \subseteq \bigcup_{y \in Y} U_y$ car $y \in U_y$). Comme $Y$ est compact, il existe $y_1, \dots, y_m \in Y$ tels que $$Y \;\subseteq\; U_{y_1} \cup \cdots \cup U_{y_m}.$$
4. Construire $V$ par intersection finie Pose $V = V_{y_1} \cap \cdots \cap V_{y_m}$. C'est bien un ouvert de $X$ (intersection finie d'ouverts — axiome 3), il contient $x$ (chaque $V_{y_k}$ contient $x$).
5. Vérifier $V \cap Y = \emptyset$ On a $$V \cap Y \;\subseteq\; V \cap (U_{y_1} \cup \cdots \cup U_{y_m}) \;=\; \bigcup_{k=1}^{m} (V \cap U_{y_k}) \;\subseteq\; \bigcup_{k=1}^{m} (V_{y_k} \cap U_{y_k}) \;=\; \emptyset,$$ la dernière égalité car $V_{y_k} \cap U_{y_k} = \emptyset$ par construction (séparation en étape 2). Donc $V \subseteq X \setminus Y$, et $x \in V$ : $X \setminus Y$ est bien voisinage de $x$. $\blacksquare$