Deux théorèmes de synthèse qui ramènent la compacité dans $\mathbb{R}^n$ à « fermé + borné » et, dans un métrisable, à l'existence de sous-suites convergentes.
C'est le Cours 12 du champ d'examen — le point de convergence de tout ce qu'on a construit sur la compacité. Deux théorèmes du champ à savoir démontrer, plus une application classique (« $\mathbb{R}$ n'est pas homéomorphe à $\mathbb{R}^2$ ») qui repose sur la connexité (Leçon 9). Les deux théorèmes utilisent les outils forgés à la Leçon 11 : [a,b] est compact, produit fini de compacts est compact, fermé dans un compact est compact, compact dans un séparé est fermé.
1. Rappel des outils forgés à la Leçon 11
Avant d'attaquer, on liste les théorèmes qu'on va invoquer sans les redémontrer (ils sont dans la Leçon 11 et le polycopié §II.3-II.4) :
Rappels (Leçon 11)
Théorème II.15. Pour tout $a < b \in \mathbb{R}$, $[a, b]$ est compact.
Théorème II.13. Un produit fini d'espaces compacts est compact.
Proposition I.9. Un fermé dans un compact est compact.
Proposition II.10. Un compact dans un espace séparé est fermé.
Avec ça, on est armé pour Heine-Borel.
2. Théorème de Heine-Borel — la caractérisation des compacts de $\mathbb{R}^n$
Théorème II.17 (Heine-Borel, polycopié §II.4)
Hypothèses : $A \subseteq \mathbb{R}^n$ ; $\mathbb{R}^n$ muni de la métrique euclidienne.
Conclusion : $A$ est compact si et seulement si $A$ est fermé et borné.
C'est l'énoncé qui permet, en pratique, de vérifier la compacité d'une partie de $\mathbb{R}^n$ sans jamais toucher à un recouvrement : il suffit de vérifier fermé + borné. Attention : cette équivalence est spécifique à $\mathbb{R}^n$ pour la métrique euclidienne (et ses équivalentes). Elle est fausse en général dans un espace métrique quelconque — cf. Remarque 3 après le théorème.
Preuve — sens ($\Rightarrow$)
Supposons $A \subseteq \mathbb{R}^n$ compact.
$A$ est fermé
$\mathbb{R}^n$ est un espace métrique donc séparé (rappel Leçon 7). Par la Proposition II.10, $A$ compact dans un séparé $\Rightarrow$ $A$ fermé dans $\mathbb{R}^n$.
$A$ est borné
Considérons le recouvrement ouvert de $\mathbb{R}^n$ donné par les boules euclidiennes centrées à l'origine :
$$\mathcal{U} = \{\, B(0, r) : r > 0 \,\}.$$
Comme $\mathbb{R}^n = \bigcup_{r > 0} B(0, r)$, la famille $\mathcal{U}$ recouvre en particulier $A$. Par compacité, il existe $r_1, \ldots, r_m > 0$ tels que $A \subseteq B(0, r_1) \cup \cdots \cup B(0, r_m)$. En posant $R = \max\{r_1, \ldots, r_m\}$, on a $A \subseteq B(0, R)$, donc $A$ est borné. $\blacksquare$
Preuve — sens ($\Leftarrow$)
Supposons $A \subseteq \mathbb{R}^n$ fermé et borné pour la distance euclidienne.
Enfermer $A$ dans un cube fermé
Comme $A$ est borné, il existe $R > 0$ tel que $A \subseteq B(0, R)$. Or $B(0, R) \subseteq [-R, R]^n$ (un point de la boule euclidienne de rayon $R$ a chacune de ses coordonnées dans $[-R, R]$). Donc $A \subseteq [-R, R]^n$.
Le cube est compact
Par le Théorème II.15, $[-R, R]$ est compact. Par le Théorème II.13 (produit fini de compacts), $[-R, R]^n = [-R, R] \times \cdots \times [-R, R]$ est compact.
Fermé dans compact = compact
$A$ est fermé dans $\mathbb{R}^n$ (hypothèse) et $A \subseteq [-R, R]^n$. Le fermé $A$ vu dans $[-R, R]^n$ reste fermé (la topologie induite est cohérente : $A = A \cap [-R, R]^n$ et $A$ est de la forme $F \cap [-R, R]^n$ avec $F = A$ fermé dans $\mathbb{R}^n$). Par la Proposition I.9, $A$ fermé dans le compact $[-R, R]^n$ est compact. $\blacksquare$
Piège classique
Heine-Borel ne dit pas que « fermé + borné $\Leftrightarrow$ compact » dans un espace métrique quelconque. Contre-exemple (Remarque 3 du polycopié) : sur $\mathbb{R}^n$, la métrique $\bar{d}_2 = d_2 / (1 + d_2)$ est équivalente à $d_2$ (même topologie) et est bornée. Donc $A = \mathbb{R}^n$ est fermé et borné pour $\bar{d}_2$, mais $\mathbb{R}^n$ n'est évidemment pas compact. La caractérisation « fermé + borné » est spécifique à la métrique euclidienne (ou une équivalente $d_p$, $p \in [1, \infty]$).
3. Suites, sous-suites et compacité séquentielle
Passons à la seconde preuve du champ. Il faut d'abord la définition de sous-suite et celle de séquentiellement compact.
Définition — Sous-suite (polycopié §II.5)
Si $(x_n)_{n \geq 1}$ est une suite dans un ensemble $X$ et $n_1 < n_2 < \cdots$ une suite strictement croissante d'entiers positifs, la suite $(y_i)_{i \geq 1}$ définie par $y_i = x_{n_i}$ est appelée une sous-suite de $(x_n)$.
Théorème (Bolzano-Weierstrass, polycopié §II.5, extrait du Théorème II.20 (i))
Hypothèses : $X$ espace topologique métrisable et compact.
Conclusion : toute suite $(x_n)$ dans $X$ admet une sous-suite convergente.
Remarque de formulation. Le polycopié énonce plus généralement (Théorème II.20 (i)) : « $X$ à base dénombrable de voisinages et compact $\Rightarrow$ $X$ séquentiellement compact ». L'hypothèse « à base dénombrable de voisinages » est automatiquement satisfaite dans un espace métrique (les boules $B(x, 1/n)$ forment une telle base pour chaque $x$). On applique donc la preuve du polycopié dans ce cadre.
Preuve — deux temps
La preuve a deux étapes : (a) $(x_n)$ admet un point d'accumulation, (b) on en extrait une sous-suite convergente.
Rappel — point d'accumulation
Un point d'accumulation de $(x_n)$ est un $y \in X$ tel que tout ouvert $U$ contenant $y$ contienne un nombre infini de termes $x_n$.
(a) $(x_n)$ admet un point d'accumulation (utilise la compacité)
Supposons par l'absurde qu'aucun $y \in X$ ne soit point d'accumulation. Alors pour chaque $y$, il existe un ouvert $U_y$ contenant $y$ tel que $\{n \in \mathbb{N} : x_n \in U_y\}$ soit fini.
La famille $\{U_y\}_{y \in X}$ est un recouvrement ouvert de $X$. Par compacité, il existe $y_1, \ldots, y_m \in X$ tels que $X = U_{y_1} \cup \cdots \cup U_{y_m}$. Mais alors la suite $(x_n)$, entièrement contenue dans cette union finie, ne contiendrait qu'un nombre fini de termes distincts (chaque $U_{y_j}$ n'en contenant qu'un nombre fini), contradiction avec le fait que $(x_n)$ est une suite (a priori une infinité de termes indexés).
(b) Extraction d'une sous-suite convergente (utilise la métrisabilité)
Soit $y$ un point d'accumulation de $(x_n)$. Comme $X$ est métrisable, la famille $(B_i)_{i \geq 1}$ avec $B_i = B(y, 1/i)$ est une base décroissante dénombrable de voisinages ouverts de $y$.
Construis par récurrence des indices $n_1 < n_2 < \cdots$ tels que $x_{n_i} \in B_i$ pour tout $i$ :
Comme $y$ est point d'accumulation, $B_1$ contient un nombre infini de termes ; choisis-en un, note son indice $n_1$.
Supposant $n_1 < \cdots < n_i$ construits, comme $B_{i+1}$ contient une infinité de $x_n$, en particulier avec un indice $> n_i$ ; choisis $n_{i+1} > n_i$ tel que $x_{n_{i+1}} \in B_{i+1}$.
La sous-suite $(x_{n_i})$ vérifie $d(x_{n_i}, y) < 1/i$ pour tout $i$, donc $x_{n_i} \to y$. $\blacksquare$
Où sert chaque hypothèse ?
Compacité sert à l'étape (a) — pour extraire un sous-recouvrement fini et obtenir une contradiction si aucun point d'accumulation n'existait.
Métrisabilité sert à l'étape (b) — pour disposer d'une base dénombrable de voisinages qui permet la construction par récurrence. Sans cette hypothèse (dans un compact non métrisable), un point d'accumulation existe toujours, mais on ne peut pas nécessairement en extraire une sous-suite convergente.
La réciproque
Le polycopié énonce aussi (Théorème II.20 (ii)) : « un espace métrique séquentiellement compact est compact ». Cette preuve est plus délicate et hors champ d'examen (le polycopié le note explicitement). Ce qu'il faut retenir : dans un espace métrisable, compact $\Leftrightarrow$ séquentiellement compact ; en revanche, dans un espace non métrisable, les deux notions divergent (contre-exemples : $[0,1]^{[0,1]}$ est compact mais pas séquentiellement compact).
5. Application — $\mathbb{R}$ n'est pas homéomorphe à $\mathbb{R}^2$
Le champ d'examen liste cette application dans le bloc Cours 10-11. Son ingrédient-clé est la connexité (Leçon 9), pas la compacité — mais on la traite ici car elle synthétise tout le langage de « invariants topologiques » qu'on a accumulé.
Théorème
Les espaces $\mathbb{R}$ et $\mathbb{R}^2$, munis de la topologie standard, ne sont pas homéomorphes.
Preuve — par l'absurde, via un invariant (la connexité)
Supposons un homéomorphisme $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2$
Alors $f$ est bijective, continue, et $f^{-1}$ est continue.
Restreindre à un point retiré
Soit $p = f(0)$. La restriction $f|_{\mathbb{R} \setminus \{0\}} : \mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R}^2 \setminus \{p\}$ est encore une bijection (car $f$ l'est), et un homéomorphisme pour les topologies induites (la restriction d'un homéomorphisme à un ouvert-source vers son image est un homéomorphisme — cf. Leçon 2).
$\mathbb{R} \setminus \{0\}$ n'est pas connexe
$\mathbb{R} \setminus \{0\} = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$ est l'union disjointe de deux ouverts non vides de $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ (topologie induite). Donc $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ n'est pas connexe (cf. Leçon 9).
$\mathbb{R}^2 \setminus \{p\}$ est connexe
$\mathbb{R}^2 \setminus \{p\}$ est connexe par arcs : pour tous $q_1, q_2 \in \mathbb{R}^2 \setminus \{p\}$, on peut relier $q_1$ à $q_2$ par un chemin qui contourne $p$ (par exemple, si le segment $[q_1, q_2]$ passe par $p$, prendre un détour par un point $q_3$ hors de la droite $(q_1 q_2)$). Un espace connexe par arcs est connexe (cf. Leçon 9).
Contradiction
La connexité est un invariant topologique : l'image continue d'un connexe est connexe (Leçon 9). Si $f|_{\mathbb{R} \setminus \{0\}}$ est un homéomorphisme, l'image du connexe et du non-connexe doivent coïncider — impossible. $\blacksquare$
Généralisation en gestation
Cette technique — « retirer un point puis compter les composantes connexes » — permet de distinguer $\mathbb{R}$ de $\mathbb{R}^n$ pour tout $n \geq 2$. Distinguer $\mathbb{R}^2$ de $\mathbb{R}^3$ demande des outils plus fins (homotopie, groupe fondamental — Topologie algébrique, plus tard).
Conclusion : $f$ est bornée et atteint ses bornes — il existe $x_{\min}, x_{\max} \in [a, b]$ tels que $f(x_{\min}) \leq f(x) \leq f(x_{\max})$ pour tout $x \in [a, b]$.
Il s'agit du théorème des bornes atteintes (Théorème II.16 du polycopié). L'idée est d'invoquer trois choses : $[a, b]$ compact, image continue d'un compact est compact, puis Heine-Borel pour caractériser $f([a, b]) \subseteq \mathbb{R}$.
Indices progressifsIndice 1 — que dit-on sur $f([a, b])$ ?
$[a, b]$ est compact (Théorème II.15). L'image continue d'un compact est compact (Leçon 11). Donc $f([a, b])$ est un sous-ensemble compact de $\mathbb{R}$.
Indice 2 — que dit Heine-Borel sur $f([a, b])$ ?
$f([a, b])$ compact dans $\mathbb{R}$ $\Rightarrow$ $f([a, b])$ est fermé et borné. Borné $\Rightarrow$ $f$ est bornée sur $[a, b]$. Il reste à voir que les bornes sont atteintes.
Indice 3 — atteinte des bornes
Soit $Y = f([a, b])$, borné donc admet $M = \sup Y \in \mathbb{R}$. Il faut montrer $M \in Y$. Or $Y$ est fermé, et $M$ est limite d'une suite d'éléments de $Y$ (par définition du sup). Un fermé contient toutes ses valeurs limite. Donc $M \in Y$, i.e. il existe $x_{\max} \in [a, b]$ avec $f(x_{\max}) = M$. Idem pour $x_{\min}$ (ou appliquer à $-f$).
Solution complète
Preuve. Par le Théorème II.15, $[a, b]$ est compact. Par la Leçon 11 (image continue d'un compact), $Y := f([a, b])$ est un sous-espace compact de $\mathbb{R}$.
Par Heine-Borel (Théorème II.17), $Y$ est fermé et borné dans $\mathbb{R}$. Borné $\Rightarrow$ il existe $M = \sup Y \in \mathbb{R}$ et $m = \inf Y \in \mathbb{R}$. Il reste à voir $M \in Y$ (et $m \in Y$).
Par définition du sup, il existe une suite $(y_k) \subseteq Y$ telle que $y_k \to M$. Comme $Y$ est fermé dans $\mathbb{R}$ (donc contient les limites de ses suites convergentes), $M \in Y$. Ainsi il existe $x_{\max} \in [a, b]$ tel que $f(x_{\max}) = M$. Idem pour $m$ (via $-f$ ou argument symétrique). $\blacksquare$
Remarque. C'est le théorème classique vu en Analyse I. La topologie générale ne fait pas que le redémontrer — elle le généralise à $X$ compact quelconque et $f : X \to \mathbb{R}$ continue (Théorème II.16 du polycopié, sans restriction à $[a, b]$).
7. Quiz de rappel
Q1 — restitution complète
Énonce le Théorème de Heine-Borel (Théorème II.17) : hypothèses, conclusion.
Vérifier
Hyp. $A \subseteq \mathbb{R}^n$ muni de la métrique euclidienne. Conclusion. $A$ compact $\Leftrightarrow$ $A$ fermé et borné.
Q2
Dans la preuve du sens $\Rightarrow$ de Heine-Borel, quel recouvrement ouvert utilise-t-on pour montrer que $A$ est borné ?
Vérifier
$\mathcal{U} = \{B(0, r) : r > 0\}$, les boules ouvertes centrées à l'origine. Elles recouvrent $\mathbb{R}^n$, donc $A$. Par compacité, un nombre fini suffit, ce qui borne $A$.
Q3 — restitution complète
Énonce le résultat « métrisable + compact $\Rightarrow$ séquentiellement compact » (Théorème II.20 (i) restreint aux métriques).
Vérifier
Hyp. $X$ espace topologique métrisable et compact. Conclusion. toute suite dans $X$ admet une sous-suite convergente.
Q4
Dans la preuve précédente : à quelle étape sert la compacité ? à quelle étape sert la métrisabilité ?
Vérifier
Compacité : à l'étape (a), pour montrer que la suite admet un point d'accumulation (extraction d'un sous-recouvrement fini). Métrisabilité : à l'étape (b), pour disposer d'une base dénombrable décroissante $B(y, 1/i)$ de voisinages de $y$ permettant l'extraction par récurrence.
Q5 — l'invariant qui distingue $\mathbb{R}$ et $\mathbb{R}^2$
Quel invariant topologique utilise-t-on pour montrer que $\mathbb{R}$ n'est pas homéomorphe à $\mathbb{R}^2$ ? Et sur quels espaces l'évalue-t-on ?
Vérifier
La connexité. On la compare sur $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ (non connexe : deux composantes $(-\infty, 0)$ et $(0, +\infty)$) versus $\mathbb{R}^2 \setminus \{p\}$ (connexe, car connexe par arcs). Un homéomorphisme $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2$ induirait un homéomorphisme entre ces deux espaces — contradiction, car la connexité est invariante par homéomorphisme.
8. Récap et micro-victoire
Tu tiens maintenant :
Le théorème de Heine-Borel (Théorème II.17) : dans $\mathbb{R}^n$ euclidien, compact $\Leftrightarrow$ fermé + borné — avec preuve intégrale des deux sens.
Le sens « métrisable + compact $\Rightarrow$ séquentiellement compact » (Théorème II.20 (i)) avec sa preuve en deux temps : point d'accumulation (via compacité), extraction (via base dénombrable métrique).
La preuve — par invariant de connexité — que $\mathbb{R} \not\cong \mathbb{R}^2$, technique généralisable pour distinguer $\mathbb{R}$ de $\mathbb{R}^n$, $n \geq 2$.
Le théorème des bornes atteintes (Théorème II.16) prouvé toi-même comme corollaire.
Ces trois preuves sont l'aboutissement du cours. À l'examen, si tu vois « soit $K \subseteq \mathbb{R}^n$ compact », ton premier réflexe doit être : Heine-Borel me dit que $K$ est fermé borné, et réciproquement. Si tu vois « soit $(x_n)$ une suite dans un compact métrique », ton premier réflexe : elle admet une sous-suite convergente.