Topologie générale

Espace de révision — préparation à l'examen d'hiver 2025 (UNIGE)

Cap examen : les 14 leçons couvrent l'intégralité du champ d'examen (13 définitions à connaître + ~20 preuves à savoir écrire). Commence par la Leçon 1 si tu attaques la révision à froid, ou saute directement au bloc qui te fait défaut. Termine impérativement par la Leçon 14 (mock exam) au moins 24h avant l'examen.

Ressources permanentes

Cadre MISSION.md — pourquoi on révise Plan NOTES.md — plan 10 jours + préférences Sources RESOURCES.md — polycopié, Munkres, exos Officiel Champ Examen.pdf — liste 1 (défs) + liste 2 (preuves) Manuel Polycopié Cimasoni — source primaire Entraînement Ancien examen — à faire en 2h chrono

Les 14 leçons

Bloc 1 · Topologie de base
  1. L1
    Anatomie d'une preuve Bloc 1
    Ouverts, fermés, intérieur, adhérence, frontière — et le protocole « déballer la définition ».
  2. L2
    Continuité, homéomorphisme, recollement Cours 2
    Continuité (globale + ponctuelle), homéomorphisme et ses pièges, topologie induite, preuve du recollement par ouverts.
  3. L3
    Base d'une topologie §I.4
    Définition, critère ponctuel, cadre abstrait, Proposition I.6 (le si-et-seulement-si).
Bloc 2 · Espaces métriques
  1. L4
    Topologies métriques Cours 3-4
    Métrique induit topologie, boules ouvertes, métrisable, preuve $\mathcal{T}_\text{taxi} = \mathcal{T}_\text{std} = \mathcal{T}_\text{max}$ sur $\mathbb{R}^2$.
Bloc 3 · Topologie produit
  1. L5
    Topologie produit fini Cours 5
    Construction via base de pavés, projections continues, propriété universelle.
  2. L6
    Produit infini, Cantor & application tertiaire σ_N Cours 5-6
    Topologie produit vs boîtes, ensemble de Cantor, σ_N : {0,...,N-1}^ℕ → [0,1], σ_3 restreinte à {0,2}^ℕ homéomorphisme.
Bloc 4 · Séparation & convergence
  1. L7
    Séparé, suites, unicité de la limite Cours 7
    Espace séparé, suite convergente, sous-suite, preuve : la limite est unique dans un séparé.
  2. L8
    Topologie ponctuelle sur PL Cours 7-8
    L'espace $PL$, comparaison des topologies $\mathcal{T}_\text{taxi}, \mathcal{T}_\text{max}, \mathcal{T}_\text{ponct}$, non-comparabilité via suites témoins.
Bloc 5 · Connexité
  1. L9
    Connexité & théorème des valeurs intermédiaires Cours 8-9
    Définition, coller les connexes (3 variantes), $\mathbb{R}$ connexe, image continue d'un connexe, TVI.
Bloc 6 · Compacité
  1. L10
    Compacité — définitions & propriétés élémentaires Cours 10-11
    Trois définitions équivalentes, fermé dans compact est compact, compact dans séparé est fermé.
  2. L11
    Compacité — image, bijection→homéo, produit Cours 10-11
    Image continue d'un compact, bij. continue compact→séparé = homéo, produit fini de compacts, $[a, b]$ compact.
  3. L12
    Heine-Borel & Bolzano-Weierstrass Cours 12
    $K \subseteq \mathbb{R}^n$ compact ⇔ fermé borné, Bolzano-Weierstrass dans un métrisable compact, $\mathbb{R} \not\cong \mathbb{R}^2$.
Bloc 7 · Quotient & surfaces
  1. L13
    Topologie quotient & surfaces Cours 13
    Topologie quotient, définition d'une surface, polygone marqué, preuve « polygone marqué → surface ».
Révision finale
  1. L14
    Mock exam & synthèse tout le champ
    Checklists (13 défs + ~20 preuves), mock exam 4 questions tirées de l'ancien examen, 10 pitfalls à éviter le jour J.

Cet espace est vivant : demande une révision, une preuve refaite, un exercice supplémentaire — je suis là pour ça. Si tu veux qu'on ajoute un glossaire, des reference cards, ou d'autres formats, dis-le.